Seja V um espaço vetorial sobre R, com produto interno.
(b) Mostre que v in V é ortogonal a cada um dos vetores w1, ldots, wk in V se, e somente se, v é ortogonal a todo vetor de S=spanw1, ldots, wk.

Passo 1

Vamos lá! Temos um espaço vetorial sobre com um produto interno. O exercício pede para mostrar que um vetor é ortogonal a cada um dos vetores se e somente se é ortogonal a todo vetor do conjunto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser ortogonal em um espaço vetorial com produto interno e como o span de um conjunto de vetores funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Em um espaço vetorial com produto interno, dois vetores e são ortogonais se o produto interno deles é zero, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o conjunto s = a1w1 + a2w2 + ldots + akwk . O span de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, todo vetor pode ser escrito como:
onde são escalares.

Passo 4

Vamos provar a implicação “se”. Suponha que s = a1w1 + a2w2 + ldots + akwk é ortogonal a cada um dos vetores lang<= v, s rang<= = lang<= v, a1w1 + a2w2 + ldots + akwk rang<= . Queremos mostrar que é ortogonal a qualquer vetor .
Tomemos um vetor . Como é uma combinação linear dos , temos:
Então, o produto interno de com é:

Passo 5

Utilizando a propriedade de linearidade do produto interno, podemos distribuir:
lang<= v, s rang<= = a1lang<= v, w1 rang<= + a2lang<= v, w2 rang<= + ldots + aklang<= v, wk rang<=
Como lang<= v, s rang<= = a1 cdot 0 + a2 cdot 0 + ldots + ak cdot 0 = 0 é ortogonal a cada , temos para todo . Portanto:
Isso mostra que é ortogonal a qualquer vetor .

Passo 6

Agora, vamos provar a implicação “somente se”. Suponha que lang<= v, wi rang<= = 0 para todo i = 1, 2, ldots, k é ortogonal a todo vetor . Queremos mostrar que é ortogonal a cada um dos vetores .
Como cada está em (pois é o span de ), então, pela hipótese, temos:
Portanto, é ortogonal a cada .

Resposta

Assim, mostramos que é ortogonal a cada um dos vetores se e somente se é ortogonal a todo vetor no span . Portanto, a afirmação está comprovada.

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