Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno.
(b) Mostre que é ortogonal a cada um dos vetores se, e somente se, é ortogonal a todo vetor de .
Passo 1
Vamos lá! Temos um espaço vetorial sobre com um produto interno. O exercício pede para mostrar que um vetor é ortogonal a cada um dos vetores se e somente se é ortogonal a todo vetor do conjunto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser ortogonal em um espaço vetorial com produto interno e como o span de um conjunto de vetores funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Em um espaço vetorial com produto interno, dois vetores e são ortogonais se o produto interno deles é zero, ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o conjunto . O span de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, todo vetor pode ser escrito como:
onde são escalares.
Passo 4
Vamos provar a implicação “se”. Suponha que é ortogonal a cada um dos vetores . Queremos mostrar que é ortogonal a qualquer vetor .
Tomemos um vetor . Como é uma combinação linear dos , temos:
Então, o produto interno de com é:
Passo 5
Utilizando a propriedade de linearidade do produto interno, podemos distribuir:
Como é ortogonal a cada , temos para todo . Portanto:
Isso mostra que é ortogonal a qualquer vetor .
Passo 6
Agora, vamos provar a implicação “somente se”. Suponha que é ortogonal a todo vetor . Queremos mostrar que é ortogonal a cada um dos vetores .
Como cada está em (pois é o span de ), então, pela hipótese, temos:
Portanto, é ortogonal a cada .
Resposta
Assim, mostramos que é ortogonal a cada um dos vetores se e somente se é ortogonal a todo vetor no span . Portanto, a afirmação está comprovada.