Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno.
(b) Mostre que
é ortogonal a cada um dos vetores
se, e somente se,
é ortogonal a todo vetor de
.
(b) Mostre que
Passo 1
Vamos lá! Temos um espaço vetorial
sobre
com um produto interno. O exercício pede para mostrar que um vetor
é ortogonal a cada um dos vetores
se e somente se
é ortogonal a todo vetor do conjunto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser ortogonal em um espaço vetorial com produto interno e como o span de um conjunto de vetores funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Em um espaço vetorial com produto interno, dois vetores
e
são ortogonais se o produto interno deles é zero, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o conjunto
. O span de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, todo vetor
pode ser escrito como:
onde
são escalares.
Passo 4
Vamos provar a implicação “se”. Suponha que
é ortogonal a cada um dos vetores
. Queremos mostrar que
é ortogonal a qualquer vetor
.
Tomemos um vetor
. Como
é uma combinação linear dos
, temos:
Então, o produto interno de
com
é:
Passo 5
Utilizando a propriedade de linearidade do produto interno, podemos distribuir:
Como
é ortogonal a cada
, temos
para todo
. Portanto:
Isso mostra que
é ortogonal a qualquer vetor
.
Passo 6
Agora, vamos provar a implicação “somente se”. Suponha que
é ortogonal a todo vetor
. Queremos mostrar que
é ortogonal a cada um dos vetores
.
Como cada
está em
(pois
é o span de
), então, pela hipótese, temos:
Portanto,
é ortogonal a cada
.
Resposta
Assim, mostramos que
é ortogonal a cada um dos vetores
se e somente se
é ortogonal a todo vetor no span
. Portanto, a afirmação está comprovada.