Prove que o conjunto (1,-1,2),(0,1,-1),(0,0,2) é uma base de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto (1,-1,2),(0,1,-1),(0,0,2) é uma base de R^3. Isso está dentro da Matemática, mais especificamente na área de Álgebra Linear. Para mostrar que esse conjunto é uma base, precisamos verificar duas coisas: se os vetores são linearmente independentes e se eles “geram” todo o espaço R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre independência linear. Vetores são linearmente independentes se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso é importante porque, em uma base, cada vetor traz uma “direção nova” para o espaço.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A matriz fica assim:
1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 2 & -1 & 2

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus:
det = 1 cdot 1 cdot 2 + 0 cdot (-1) cdot 2 + 0 cdot (-1) cdot (-1) - (0 cdot 1 cdot 2 + 0 cdot (-1) cdot 1 + 1 cdot (-1) cdot (-1))
det = 2 + 0 + 0 - (0 + 0 + 1) = 2 - 1 = 1
Como o determinante é diferente de zero (nesse caso, 1), os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos três vetores em R^3 que são linearmente independentes, eles também geram todo o espaço R^3. Isso porque, em um espaço de dimensão 3, três vetores independentes já “preenchem” todas as direções possíveis.

Resposta

Portanto, o conjunto (1,-1,2),(0,1,-1),(0,0,2) é uma base de R^3.

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