Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com espaços vetoriais de polinômios, especificamente , que são polinômios de até segundo grau com coeficientes reais. A matéria principal aqui é produto interno, que é uma forma de medir “ângulos” e “distâncias” entre vetores (neste caso, polinômios) no espaço. Vamos precisar calcular produtos internos, normas, distância entre vetores e o cosseno do ângulo entre dois polinômios. Os polinômios dados são:
E o produto interno está definido por:
Vamos calcular passo a passo cada um dos itens solicitados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto interno . O produto interno é basicamente uma forma de “multiplicar” dois vetores e obter um número que nos dá uma ideia de como eles estão relacionados.
Vamos multiplicar os polinômios dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo de 0 a 1:
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular . Primeiro, precisamos somar os polinômios e :
Então, o produto interno será:
Integrando termo a termo:
Somando tudo:
Passo 4
Vamos calcular a norma de , denotada por . A norma é uma forma de medir o “tamanho” de um vetor. No contexto de espaços vetoriais com produto interno, a norma de é dada por:
Primeiro, calculamos :
Integrando termo a termo:
Somando tudo:
Então, a norma de é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de , ou seja, . Primeiro, somamos os polinômios e :
Então, a norma é:
Vamos expandir o polinômio ao quadrado:
Agora, integramos termo a termo:
Somando tudo:
Vamos converter tudo para uma fração comum, que é 30:
Agora:
Então, a norma de é:
Passo 6
Vamos calcular a distância entre e , denotada por . A distância em um espaço com produto interno é dada pela norma da diferença entre os vetores:
Primeiro, encontramos :
Então, a distância é:
Vamos expandir o polinômio ao quadrado:
Agora, integramos termo a termo:
Somando tudo:
Parece que houve um erro aqui, pois a norma não pode ser negativa. Vamos revisar os cálculos:
Após expandir , percebemos que:
Ao integrar:
Total:
O erro está no sinal do termo constante. Corrigindo:
Então:
Ainda dá negativo, o que não faz sentido. Vamos reavaliar a expansão:
Integrando:
Parece que a expressão está gerando uma norma negativa, o que não é possível. Isso indica que pode haver um erro nos cálculos ou na formulação do problema. Por favor, verifique os polinômios e a definição do produto interno.
Resposta
Conforme calculado nos passos anteriores, temos:
A distância não pôde ser calculada devido a inconsistências nos cálculos.