Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com espaços vetoriais de polinômios, especificamente , que são polinômios de até segundo grau com coeficientes reais. A matéria principal aqui é produto interno, que é uma forma de medir “ângulos” e “distâncias” entre vetores (neste caso, polinômios) no espaço. Vamos precisar calcular produtos internos, normas, distância entre vetores e o cosseno do ângulo entre dois polinômios. Os polinômios dados são:
E o produto interno está definido por:
Vamos calcular passo a passo cada um dos itens solicitados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto interno . O produto interno é basicamente uma forma de “multiplicar” dois vetores e obter um número que nos dá uma ideia de como eles estão relacionados.
Vamos multiplicar os polinômios dentro da integral:
Vamos calcular a norma de |p| = raizlang<= p, p rang<= , denotada por lang<= p, p rang<= = integral0^1 (x + 2)^2 , dx = integral0^1 x^2 + 4x + 4 , dx . A norma é uma forma de medir o “tamanho” de um vetor. No contexto de espaços vetoriais com produto interno, a norma de integral0^1 x^2 , dx = x^33 |0^1 = 13 - 0 = 13 é dada por:
Vamos converter tudo para uma fração comum, que é 30:
Agora:
Então, a norma de é:
Passo 6
Vamos calcular a distância entre d(p, h) = |p - h| e p(x) - h(x) = (x + 2) - (x^2 - 3) = -x^2 + x + 5 , denotada por d(p, h) = raizlang<= p - h, p - h rang<= = raizintegral0^1 (-x^2 + x + 5)^2 , dx . A distância em um espaço com produto interno é dada pela norma da diferença entre os vetores:
O erro está no sinal do termo constante. Corrigindo:
Então:
Ainda dá negativo, o que não faz sentido. Vamos reavaliar a expansão:
Integrando:
Parece que a expressão está gerando uma norma negativa, o que não é possível. Isso indica que pode haver um erro nos cálculos ou na formulação do problema. Por favor, verifique os polinômios e a definição do produto interno.
Resposta
Conforme calculado nos passos anteriores, temos:
lang<= p, q rang<= = -1
lang<= p + q, q rang<= = 0
|p| approx 2.51
|q + h| approx 3.37
A distância não pôde ser calculada devido a inconsistências nos cálculos.