Calculo o ângulo entre os vetores (1,2,2,1) e(-1,1-1,1) in R^4.

Passo 1

Bom, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o ângulo entre dois vetores no espaço 4-dimensional, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e normas de vetores, que são ferramentas essenciais em cálculo vetorial para encontrar o ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar de dois vetores u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 e é a soma dos produtos de suas componentes correspondentes. Matematicamente, se e , então:

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores dados u cdot v = (1)(-1) + (2)(1) + (2)(-1) + (1)(1) = -1 + 2 - 2 + 1 = 0 e :
Então, o produto escalar é 0.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a norma de cada vetor, que é basicamente o comprimento do vetor. A norma de um vetor |u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 + u4^2 é dada por:
|u| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 4 + 1 = raiz10
Vamos calcular para cada vetor:
|v| = raiz(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 + 1 = raiz4 = 2

Passo 5

Com o produto escalar e as normas dos vetores, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre os vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = 0raiz10 times 2 = 0

Passo 6

Agora, para encontrar o ângulo theta = arccos(0) , usamos a função arco cosseno:
Sabemos que radianos, ou 90 graus.

Resposta

O ângulo entre os vetores e é de graus.

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