Diga se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais W=(x, y, z, w) in R^4: x-2 y=0 ; z+w=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. A questão pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Vamos precisar dos conceitos de subespaço vetorial, que envolvem verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos começar verificando se o vetor zero está em x - 2y = 0 Rightarrow 0 - 2 cdot 0 = 0 OK . O vetor zero em z + w = 0 Rightarrow 0 + 0 = 0 OK é . Substituindo na definição de :
Então, o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, vamos verificar se (x1 + x2) - 2(y1 + y2) = (x1 - 2y1) + (x2 - 2y2) = 0 + 0 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer (z1 + z2) + (w1 + w2) = (z1 + w1) + (z2 + w2) = 0 + 0 = 0 e em , a soma também deve estar em .
Vamos verificar as condições:
Portanto, a soma também satisfaz as condições de .

Passo 4

Por último, vamos verificar se (cx) - 2(cy) = c(x - 2y) = c cdot 0 = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor (cz) + (cw) = c(z + w) = c cdot 0 = 0 em e um escalar , o vetor também deve estar em .
Verificando as condições:
Assim, também pertence a .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados