Dê um exemplo de uma transformação linear não diagonalizável com polinômio característico .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para dar um exemplo de uma transformação linear que não é diagonalizável e que tem o polinômio característico . Vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares, polinômio característico e diagonalização. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses conceitos se relacionam e construir uma matriz que atenda aos requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o polinômio característico. Podemos simplificar isso:
Então, os autovalores (ou valores próprios) da transformação são e , com multiplicidades algébricas de 1 e 2, respectivamente.
Passo 3
Agora, para uma transformação linear ser diagonalizável, é necessário que a multiplicidade geométrica (o número de vetores próprios linearmente independentes) de cada autovalor seja igual à sua multiplicidade algébrica. Se isso não acontecer para algum autovalor, a transformação não é diagonalizável.
No nosso caso, temos com multiplicidade 1 e com multiplicidade 2. Para que a transformação não seja diagonalizável, queremos que tenha multiplicidade geométrica menor que 2, ou seja, apenas 1 vetor próprio associado a .
Passo 4
Vamos construir uma matriz que tenha esses autovalores e que não seja diagonalizável. Uma maneira de fazer isso é criar uma matriz triangular superior onde os elementos na diagonal são os autovalores e adicionar um elemento não zero acima da diagonal que conecte os autovalores iguais, criando assim um bloco de Jordan.
Por exemplo, podemos considerar a seguinte matriz 3x3:
Vamos verificar se ela atende aos critérios.
Passo 5
Primeiro, encontramos o polinômio característico de . Como a matriz é triangular, o polinômio característico é simplesmente o produto dos elementos da diagonal menos :
O que corresponde ao polinômio que queríamos.
Agora, observamos que o autovalor tem multiplicidade algébrica 2, mas há apenas um vetor próprio associado a ele, devido ao elemento 1 acima da diagonal, que impede a existência de dois vetores próprios linearmente independentes para . Portanto, a multiplicidade geométrica de é 1, o que é menor que sua multiplicidade algébrica de 2.
Assim, a matriz não é diagonalizável.
Resposta
Um exemplo de transformação linear não diagonalizável com polinômio característico é a matriz