Mostre que
. Justifique, geometricamente, o porque o vetor
é uma combinação linear de w e s.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que
. Além disso, precisamos justificar, de forma geométrica, por que o vetor
é uma combinação linear de
e
. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente propriedades do produto vetorial e do produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da identidade vetorial do produto cruzado de vetores que envolve três vetores. Essa identidade é chamada de fórmula de Lagrange e nos diz que:
Essa fórmula nos permite reescrever o produto vetorial de um vetor com o produto vetorial de outros dois vetores de uma forma mais simples e compreensível.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Lagrange ao nosso problema, onde
,
e
, temos:
Isso confirma a primeira parte do exercício, mostrando que a identidade é válida.
Passo 4
Agora, vamos justificar geometricamente por que o vetor
é uma combinação linear de
e
.
Primeiro, observe que o produto vetorial
resulta em um vetor que é perpendicular tanto a
quanto a
. Quando fazemos
, estamos pegando o vetor
e cruzando-o com esse vetor perpendicular.
De acordo com a fórmula de Lagrange que usamos anteriormente, o resultado dessa operação pode ser expresso como uma combinação linear de
e
, isto é, os vetores
e
são escalados pelos produtos escalares
e
, respectivamente. Isso significa que o vetor resultante está contido no plano formado por
e
, sendo, portanto, uma combinação linear desses dois vetores.
Resposta
Demonstramos que
e justificamos geometricamente que
é uma combinação linear dos vetores
e
.
Exercícios relacionados
Expresse
em termos de
e
, em que
é uma função derivável dada implicitamente pela equaçã̃o:
(f)
(f)
Calculo a área do sólido abaixo do gráfico da funçāo
e acima da regiāo
do plano
.
é a regiāo do plano
limitada pelo gráfico das funçōes
e
.
As equações diferenciais abaixo possuem um ponto singular regular
. Use o método de Frobenius para calcular a solução da EDO em torno de
.
As equações diferenciais abaixo possuem um ponto singular regular
. Use o método de Frobenius para calcular a solução da EDO em torno de
.