Mostre que v × (s × w) = s(v ⋅ w) - w(v ⋅ s). Justifique, geometricamente, o porque o vetor v x (w x s) é uma combinação linear de w e s.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que . Além disso, precisamos justificar, de forma geométrica, por que o vetor é uma combinação linear de e . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente propriedades do produto vetorial e do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade vetorial do produto cruzado de vetores que envolve três vetores. Essa identidade é chamada de fórmula de Lagrange e nos diz que:
Essa fórmula nos permite reescrever o produto vetorial de um vetor com o produto vetorial de outros dois vetores de uma forma mais simples e compreensível.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Lagrange ao nosso problema, onde , e , temos:
Isso confirma a primeira parte do exercício, mostrando que a identidade é válida.

Passo 4

Agora, vamos justificar geometricamente por que o vetor é uma combinação linear de e .
Primeiro, observe que o produto vetorial resulta em um vetor que é perpendicular tanto a quanto a . Quando fazemos , estamos pegando o vetor e cruzando-o com esse vetor perpendicular.
De acordo com a fórmula de Lagrange que usamos anteriormente, o resultado dessa operação pode ser expresso como uma combinação linear de e , isto é, os vetores e são escalados pelos produtos escalares e , respectivamente. Isso significa que o vetor resultante está contido no plano formado por e , sendo, portanto, uma combinação linear desses dois vetores.

Resposta

Demonstramos que e justificamos geometricamente que é uma combinação linear dos vetores e .

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