(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.
Passo 1
Beleza, temos um exercício de cálculo de determinantes de matrizes 3x3 usando operações elementares nas linhas ou colunas. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como usar operações simples nas linhas pra facilitar o cálculo.
Passo 2
Vamos começar olhando a matriz que a gente tem:
1+a & a & a b & 1+b & b c & c & 1+c
Nossa missão é calcular o determinante dessa matriz usando operações nas linhas.
Passo 3
Primeiro, vamos simplificar a matriz usando operações nas linhas. Vamos tentar deixar alguns elementos iguais a zero pra facilitar o cálculo depois.
Vamos subtrair a primeira linha da segunda e da terceira linha. Isso é permitido porque podemos fazer operações nas linhas sem mudar o determinante de forma complicada.
Então, as novas linhas ficam assim:
Linha 2: (b) - (1+a) = b - (1+a)
Linha 3: (c) - (1+a) = c - (1+a)
Mas na verdade, vamos subtrair a primeira linha das outras duas linhas completa:
Nova Linha 2:
b - (1+a) = b - 1 - a 1+b - a = 1 + b - a b - a = b - a
Nova Linha 3:
c - (1+a) = c - 1 - a c - a = c - a 1+c - a = 1 + c - a
Passo 4
A matriz agora fica assim:
1+a & a & a b-1-a & 1+b-a & b-a c-1-a & c-a & 1+c-a
Ainda pode parecer complicado, mas a ideia é simplificar mais. Vamos fatorar alguns termos comuns.
Passo 5
Observando melhor, podemos reescrever as linhas 2 e 3 fatorando b e c:
Linha 2:
b - 1 - a = b - (1+a) 1 + b - a = (1 - a) + b b - a = b - a
Linha 3:
c - 1 - a = c - (1+a) c - a = c - a 1 + c - a = (1 - a) + c
Passo 6
Agora, podemos perceber que as linhas 2 e 3 têm uma estrutura semelhante, o que nos ajuda a simplificar o determinante. Vamos calcular usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace.
Vou optar por expandir o determinante pela primeira linha:
det = (1+a) cdot 1+b-a & b-a c-a & 1+c-a - a cdot b-1-a & b-a c-1-a & 1+c-a + a cdot b-1-a & 1+b-a c-1-a & c-a