(Matrizes singulares.) Considerem-se, para alpha in R, as matrizes Malpha abaixo indicadas. Determinar os valores do parâmetro alpha para os quais a matriz Malpha é singular.
26.2 Malpha=[rrr2 & -2 & 2 1 & -3 & -2 alpha & -2 & alpha]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para quais valores de a matriz é singular. Singularidade de uma matriz está ligada ao determinante dela. Se o determinante for zero, a matriz é singular. Então, vamos precisar calcular o determinante de e encontrar os valores de que fazem esse determinante igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i . Para a matriz geral
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
o determinante é dado por:
Malpha = 2 & -2 & 2 1 & -3 & -2 alpha & -2 & alpha
Vamos aplicar essa fórmula na nossa matriz :

Passo 3

Agora, vamos identificar os elementos da matriz para aplicar na fórmula do determinante:
a = 2, b = -2, c = 2 d = 1, e = -3, f = -2 g = alpha, h = -2, i = alpha
Substituindo na fórmula do determinante:
det(Malpha) = 2[(-3)(alpha) - (-2)(-2)] - (-2)[1(alpha) - (-2)(alpha)] + 2[1(-2) - (-3)(alpha)]
Vamos calcular cada parte:
  1. Primeiro termo:
2[(-3)alpha - 4] = 2(-3alpha - 4) = -6alpha - 8
  1. Segundo termo:
-(-2)[alpha - (-2)alpha] = 2[alpha + 2alpha] = 2(3alpha) = 6alpha
  1. Terceiro termo:
2[ -2 + 3alpha ] = 2(-2 + 3alpha) = -4 + 6alpha

Passo 4

Agora, somando todos os termos calculados:
det(Malpha) = (-6alpha - 8) + 6alpha + (-4 + 6alpha) = (-6alpha + 6alpha + 6alpha) + (-8 - 4) = 6alpha - 12
Então, temos:
det(Malpha) = 6alpha - 12

Passo 5

Para que a matriz 6alpha - 12 = 0 seja singular, o determinante deve ser igual a zero:
6alpha = 12 alpha = 126 alpha = 2
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que torna a matriz singular é .

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