Determine o simétrico do ponto P em relação à reta r, nos casos: P=(2,7), r: y-x-1=0 ; R :(6,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A questão pede para a gente encontrar o ponto simétrico de um ponto em relação a uma reta . Isso envolve um pouco de álgebra e geometria, então vamos por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o ponto simétrico. Imagine que você tem uma reta no plano e um ponto fora dessa reta. O ponto simétrico é aquele que está exatamente “espelhado” em relação à reta. Para encontrar esse ponto, precisamos seguir alguns passos.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro caso: e . Queremos encontrar o ponto simétrico de em relação a .

Passo 4

Para isso, precisamos encontrar a projeção de P' ( x', y' ) = ( b(bx0 - ay0) - aca^2 + b^2, a(-bx0 + ay0) - bca^2 + b^2 ) sobre a reta . A fórmula para a projeção de um ponto sobre a reta é:
No nosso caso, a equação da reta pode ser escrita como , então , , e .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
x' = (-1)(-1 cdot 2 - 1 cdot 7) - 1 cdot 11^2 + (-1)^2 = (-1)(-2 - 7) - 11 + 1 = (-1)(-9) - 12 = 9 - 12 = 82 = 4
y' = 1(-(-1 cdot 2) + 1 cdot 7) - (-1) cdot 11^2 + (-1)^2 = 1(2 + 7) + 12 = 1 cdot 9 + 12 = 102 = 5
Então, a projeção é .

Passo 6

Agora, para encontrar o ponto simétrico Ps = 2P' - P , usamos a relação:
Isso significa que cada coordenada de é duas vezes a coordenada de menos a coordenada de .

Passo 7

Aplicando a fórmula:
xs = 2 cdot 4 - 2 = 8 - 2 = 6
ys = 2 cdot 5 - 7 = 10 - 7 = 3
Então, o ponto simétrico é .

Resposta

O ponto simétrico de em relação à reta é .

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