Determine o simétrico do ponto em relação à reta , nos casos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A questão pede para a gente encontrar o ponto simétrico de um ponto em relação a uma reta . Isso envolve um pouco de álgebra e geometria, então vamos por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o ponto simétrico. Imagine que você tem uma reta no plano e um ponto fora dessa reta. O ponto simétrico é aquele que está exatamente “espelhado” em relação à reta. Para encontrar esse ponto, precisamos seguir alguns passos.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro caso: e . Queremos encontrar o ponto simétrico de em relação a .

Passo 4

Para isso, precisamos encontrar a projeção de sobre a reta . A fórmula para a projeção de um ponto sobre a reta é:
No nosso caso, a equação da reta pode ser escrita como , então , , e .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Então, a projeção é .

Passo 6

Agora, para encontrar o ponto simétrico , usamos a relação:
Isso significa que cada coordenada de é duas vezes a coordenada de menos a coordenada de .

Passo 7

Aplicando a fórmula:
Então, o ponto simétrico é .

Resposta

O ponto simétrico de em relação à reta é .

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