Determine o simétrico do ponto
em relação à reta
, nos casos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A questão pede para a gente encontrar o ponto simétrico de um ponto
em relação a uma reta
. Isso envolve um pouco de álgebra e geometria, então vamos por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o ponto simétrico. Imagine que você tem uma reta no plano e um ponto fora dessa reta. O ponto simétrico é aquele que está exatamente “espelhado” em relação à reta. Para encontrar esse ponto, precisamos seguir alguns passos.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro caso:
e
. Queremos encontrar o ponto simétrico de
em relação a
.
Passo 4
Para isso, precisamos encontrar a projeção de
sobre a reta
. A fórmula para a projeção
de um ponto
sobre a reta
é:
No nosso caso, a equação da reta
pode ser escrita como
, então
,
, e
.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Então, a projeção
é
.
Passo 6
Agora, para encontrar o ponto simétrico
, usamos a relação:
Isso significa que cada coordenada de
é duas vezes a coordenada de
menos a coordenada de
.
Passo 7
Aplicando a fórmula:
Então, o ponto simétrico
é
.
Resposta
O ponto simétrico de
em relação à reta
é
.