Determine o simétrico do ponto P em relação à reta r, nos casos: P=(1,0), r: x=y; R.: (0,1)

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver esse exercício que fala sobre encontrar o ponto simétrico de um ponto em relação a uma reta . A matéria aqui é Geometria Analítica, mais especificamente sobre simetria em relação a retas. Vamos precisar usar algumas fórmulas de reflexão em torno de uma reta e entender como calcular isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o simétrico de um ponto em relação a uma reta. Imagine que você tem um ponto e uma reta . O ponto simétrico é aquele que fica exatamente do outro lado da reta , à mesma distância que está da reta. É como se a reta fosse um espelho refletindo o ponto .

Passo 3

Para encontrar o simétrico P' = ( (1 - m^2)x + 2my - 2mc1 + m^2, (m^2 - 1)y + 2mx + 2c1 + m^2 ) de em relação a , usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é o coeficiente angular da reta e é o coeficiente linear quando a reta está na forma .

Passo 4

Vamos aplicar isso no primeiro caso: P' = ( (1 - 1^2)(1) + 2(1)(0) - 2(1)(0)1 + 1^2, (1^2 - 1)(0) + 2(1)(1) + 2(0)1 + 1^2 ) e P' = ( 0 + 0 - 02, 0 + 2 + 02 ) = (0, 1) .
Primeiro, identificamos que a reta pode ser escrita como , então e .
Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 5

Agora, para o segundo caso: P' = ( (1 - 1^2)(0) + 2(1)(1) - 2(1)(0)1 + 1^2, (1^2 - 1)(1) + 2(1)(0) + 2(0)1 + 1^2 ) e P' = ( 0 + 2 - 02, 0 + 0 + 02 ) = (1, 0) .
Usamos os mesmos valores de e já que a reta é a mesma .
Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Resposta

O simétrico do ponto em relação à reta é .
O simétrico do ponto em relação à reta é .

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