Encontre os valores de e de modo que os pontos e forme um triângulo equilátero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e um ponto desconhecido . A missão é encontrar os valores de e que fazem com que esses três pontos formem um triângulo equilátero. Ou seja, os três lados do triângulo precisam ter o mesmo comprimento. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A fórmula da distância entre dois pontos e é dada por:
No nosso caso, como todos os pontos têm a mesma coordenada , a fórmula simplifica para a distância no plano XY:

Passo 3

Vamos calcular a distância entre os pontos e . Aplicando a fórmula:
Então, a distância entre e é 5 unidades.

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre o ponto e o ponto desconhecido . Usando a mesma fórmula:

Passo 5

Em seguida, calculamos a distância entre o ponto e o ponto desconhecido :

Passo 6

Como o triângulo precisa ser equilátero, todas as distâncias devem ser iguais. Já sabemos que , então temos:
Isso nos dá duas equações:

Passo 7

Vamos resolver essas equações. Primeiro, eliminamos a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo as equações:
Simplificando a segunda equação:
Agora temos o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Isso simplifica para:
Vamos isolar :
Agora, substituímos esse valor de na primeira equação:
Simplificando e resolvendo essa equação para , encontramos os valores de e depois de .

Resposta

Os valores de que fazem os pontos formarem um triângulo equilátero são:

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