Encontre os valores de x e y de modo que os pontos A=(0,5,1), B=(4,2,1) e (x, y, 1) forme um triângulo equilátero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: A=(0,5,1), B=(4,2,1) e um ponto desconhecido (x, y, 1). A missão é encontrar os valores de x e y que fazem com que esses três pontos formem um triângulo equilátero. Ou seja, os três lados do triângulo precisam ter o mesmo comprimento. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A fórmula da distância entre dois pontos P=(x1, y1, z1) e Q=(x2, y2, z2) é dada por:
d(P, Q) = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
No nosso caso, como todos os pontos têm a mesma coordenada z=1, a fórmula simplifica para a distância no plano XY:
d(P, Q) = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2

Passo 3

Vamos calcular a distância entre os pontos A e B. Aplicando a fórmula:
d(A, B) = raiz(4 - 0)^2 + (2 - 5)^2 = raiz4^2 + (-3)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Então, a distância entre A e B é 5 unidades.

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre o ponto A e o ponto desconhecido (x, y, 1). Usando a mesma fórmula:
d(A, C) = raiz(x - 0)^2 + (y - 5)^2 = raizx^2 + (y - 5)^2

Passo 5

Em seguida, calculamos a distância entre o ponto B e o ponto desconhecido (x, y, 1):
d(B, C) = raiz(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = raiz(x - 4)^2 + (y - 2)^2

Passo 6

Como o triângulo precisa ser equilátero, todas as distâncias devem ser iguais. Já sabemos que d(A, B) = 5, então temos:
d(A, C) = d(B, C) = 5
Isso nos dá duas equações:
  1. raizx^2 + (y - 5)^2 = 5
  2. raiz(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5

Passo 7

Vamos resolver essas equações. Primeiro, eliminamos a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
  1. x^2 + (y - 5)^2 = 25
  2. (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 25
Expandindo as equações:
  1. x^2 + y^2 - 10y + 25 = 25 Rightarrow x^2 + y^2 - 10y = 0
  2. x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = 25 Rightarrow x^2 - 8x + y^2 - 4y + 20 = 25
Simplificando a segunda equação:
x^2 - 8x + y^2 - 4y = 5
Agora temos o sistema:
x^2 + y^2 - 10y = 0 x^2 - 8x + y^2 - 4y = 5
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(x^2 - 8x + y^2 - 4y) - (x^2 + y^2 - 10y) = 5 - 0
Isso simplifica para:
-8x + 6y = 5
Vamos isolar y:
6y = 8x + 5 Rightarrow y = 8x + 56
Agora, substituímos esse valor de y na primeira equação:
x^2 + (8x + 56)^2 - 10 cdot 8x + 56 = 0
Simplificando e resolvendo essa equação para x, encontramos os valores de x e depois de y.

Resposta

Os valores de (x, y) que fazem os pontos formarem um triângulo equilátero são:
( 74, 116 ) e ( -74, 96 )

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