Determine, se possível:
a) e y de modo que as matrizes e comutem.
b) Todas as matrizes que comutam com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes que comutam. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente a parte que trata da multiplicação de matrizes e as condições para que duas matrizes comutem (ou seja, que ). Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e resolver sistemas de equações para encontrar os valores de e que satisfazem as condições dadas.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a parte a) do exercício. Temos as matrizes:
Queremos encontrar os valores de e tais que .
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o produto . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto :
Passo 5
Para que e comutem, precisamos que . Isso significa que cada entrada correspondente nas duas matrizes resultantes deve ser igual. Então, igualamos as entradas:
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Da equação 0 = 12 + ( -12 ) = 0 , temos .
Da equação , temos → .
Vamos verificar a terceira equação :
Está tudo certo!
Passo 7
Então, os valores que satisfazem são e .
Passo 8
Agora, vamos para a parte b) do exercício. Queremos encontrar todas as matrizes que comutam com a matriz:
C = 1 & 1 0 & 1
Passo 9
Para isso, vamos considerar uma matriz genérica a & b c & d e exigir que .
Passo 10
Vamos calcular CD = 1 cdot a + 1 cdot c & 1 cdot b + 1 cdot d 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d = a + c & b + d c & d e DC = a cdot 1 + b cdot 0 & a cdot 1 + b cdot 1 c cdot 1 + d cdot 0 & c cdot 1 + d cdot 1 = a & a + b c & c + d :
Passo 11
Igualando a + c = a b + d = a + b c = c d = c + d , temos:
Passo 12
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação , temos .
Da segunda equação , temos .
A terceira equação é sempre verdadeira.
Da quarta equação , substituindo , temos , que também é verdadeira.
Passo 13
Então, as condições para que c = 0 e d = a comute com D = a & b 0 & a são:
Isso significa que a matriz deve ser da forma:
onde e podem ser quaisquer números reais.
Passo 14
Portanto, todas as matrizes 1 & 1 0 & 1 que comutam com a & b 0 & a são aquelas que têm a forma:
onde e são números reais quaisquer.
Resposta
a) Os valores que fazem as matrizes 1 & 1 0 & 1 e a & b 0 & a comutarem são e .
b) Todas as matrizes que comutam com são aquelas da forma , onde e são números reais quaisquer.