Determine, se possível:
a) e y de modo que as matrizes e comutem.
b) Todas as matrizes que comutam com

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes que comutam. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente a parte que trata da multiplicação de matrizes e as condições para que duas matrizes comutem (ou seja, que ). Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e resolver sistemas de equações para encontrar os valores de e que satisfazem as condições dadas.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a parte a) do exercício. Temos as matrizes:
Queremos encontrar os valores de e tais que .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o produto . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto :

Passo 5

Para que e comutem, precisamos que . Isso significa que cada entrada correspondente nas duas matrizes resultantes deve ser igual. Então, igualamos as entradas:

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da equação , temos .
  2. Da equação , temos .
  3. Vamos verificar a terceira equação :
Está tudo certo!

Passo 7

Então, os valores que satisfazem são e .

Passo 8

Agora, vamos para a parte b) do exercício. Queremos encontrar todas as matrizes que comutam com a matriz:

Passo 9

Para isso, vamos considerar uma matriz genérica e exigir que .

Passo 10

Vamos calcular e :

Passo 11

Igualando , temos:

Passo 12

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação , temos .
  2. Da segunda equação , temos .
  3. A terceira equação é sempre verdadeira.
  4. Da quarta equação , substituindo , temos , que também é verdadeira.

Passo 13

Então, as condições para que comute com são:
Isso significa que a matriz deve ser da forma:
onde e podem ser quaisquer números reais.

Passo 14

Portanto, todas as matrizes que comutam com são aquelas que têm a forma:
onde e são números reais quaisquer.

Resposta

a) Os valores que fazem as matrizes e comutarem são e .
b) Todas as matrizes que comutam com são aquelas da forma , onde e são números reais quaisquer.

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Dados os pontos e , sejam e as retas tais que e . Considere e os pés das retas perpendiculares traçadas de às retas e , respectivamente. Obtenha a equação da reta à qual pertencem e . R.:
Determine tal que:
a)
Sendo e , calcule as matrizes X e Y no sistema
(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.