Determine, se possível:
a) x e y de modo que as matrizes A=(ll1 & 2 1 & 0) e B=(ll0 & 1 x & y) comutem.
b) Todas as matrizes que comutam com (ll1 & 1 0 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes que comutam. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente a parte que trata da multiplicação de matrizes e as condições para que duas matrizes comutem (ou seja, que ). Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e resolver sistemas de equações para encontrar os valores de e que satisfazem as condições dadas.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a parte a) do exercício. Temos as matrizes:
A = 1 & 2 1 & 0 , B = 0 & 1 x & y
Queremos encontrar os valores de e tais que .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o produto AB = 1 cdot 0 + 2 cdot x & 1 cdot 1 + 2 cdot y 1 cdot 0 + 0 cdot x & 1 cdot 1 + 0 cdot y = 2x & 1 + 2y 0 & 1 . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto BA = 0 cdot 1 + 1 cdot 1 & 0 cdot 2 + 1 cdot 0 x cdot 1 + y cdot 1 & x cdot 2 + y cdot 0 = 1 & 0 x + y & 2x :

Passo 5

Para que 2x = 1 1 + 2y = 0 0 = x + y 1 = 2x e comutem, precisamos que . Isso significa que cada entrada correspondente nas duas matrizes resultantes deve ser igual. Então, igualamos as entradas:

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da equação 0 = 12 + ( -12 ) = 0 , temos .
  2. Da equação , temos .
  3. Vamos verificar a terceira equação :
Está tudo certo!

Passo 7

Então, os valores que satisfazem são e .

Passo 8

Agora, vamos para a parte b) do exercício. Queremos encontrar todas as matrizes que comutam com a matriz:
C = 1 & 1 0 & 1

Passo 9

Para isso, vamos considerar uma matriz genérica a & b c & d e exigir que .

Passo 10

Vamos calcular CD = 1 cdot a + 1 cdot c & 1 cdot b + 1 cdot d 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d = a + c & b + d c & d e DC = a cdot 1 + b cdot 0 & a cdot 1 + b cdot 1 c cdot 1 + d cdot 0 & c cdot 1 + d cdot 1 = a & a + b c & c + d :

Passo 11

Igualando a + c = a b + d = a + b c = c d = c + d , temos:

Passo 12

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação , temos .
  2. Da segunda equação , temos .
  3. A terceira equação é sempre verdadeira.
  4. Da quarta equação , substituindo , temos , que também é verdadeira.

Passo 13

Então, as condições para que c = 0 e d = a comute com D = a & b 0 & a são:
Isso significa que a matriz deve ser da forma:
onde e podem ser quaisquer números reais.

Passo 14

Portanto, todas as matrizes 1 & 1 0 & 1 que comutam com a & b 0 & a são aquelas que têm a forma:
onde e são números reais quaisquer.

Resposta

a) Os valores que fazem as matrizes 1 & 1 0 & 1 e a & b 0 & a comutarem são e .
b) Todas as matrizes que comutam com são aquelas da forma , onde e são números reais quaisquer.

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