Sendo e , calcule as matrizes X e Y no sistema

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! A gente tem duas matrizes, e , e precisamos encontrar duas outras matrizes, e , que satisfazem o sistema:
Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver esse sistema de equações matriciais. Precisamos saber como manipular matrizes e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada equação do sistema. Temos duas equações envolvendo as matrizes e . Nosso objetivo é isolar e .

Passo 3

Vamos escrever o sistema de equações de uma forma que facilitaria a resolução. Podemos tratar isso como um sistema linear comum, mas envolvendo matrizes. Para facilitar, vamos reescrever as equações assim:

Passo 4

Agora, queremos resolver para e . Uma maneira de fazer isso é usar o método da substituição ou da combinação linear. Vamos optar pela combinação linear para eliminar uma das matrizes.

Passo 5

Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para igualar os coeficientes de :

Passo 6

Agora, subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar :

Passo 7

Isolamos dividindo ambos os lados por 5:

Passo 8

Agora que temos em termos de e , podemos substituir esse valor na primeira equação original para encontrar :

Passo 9

Simplificamos a equação:

Passo 10

Isolamos dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

As matrizes e que satisfazem o sistema são:

Exercícios relacionados

Determine, se possível:
a) e y de modo que as matrizes e comutem.
b) Todas as matrizes que comutam com
Dados os pontos e , sejam e as retas tais que e . Considere e os pés das retas perpendiculares traçadas de às retas e , respectivamente. Obtenha a equação da reta à qual pertencem e . R.:
(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.
(Determinante de Vandermonde)
(Deduzir a expressão geral para o determinante de Vandermonde ).
25.6 Calcular o determinante da matriz .