Dada a matriz A=(lll2 & 3 & 1 3 & 4 & 2 1 & 2 & 0), calcule A+A^t e A cdot A^t

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A gente recebeu uma matriz 2 & 3 & 1 3 & 4 & 2 1 & 2 & 0 . A tarefa é calcular e . Aqui, é a transposta da matriz . Pra resolver isso, vamos precisar saber como fazer a transposição de uma matriz, a soma de matrizes e a multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a transposta de A^t = 2 & 3 & 1 3 & 4 & 2 1 & 2 & 0 , ou seja, . Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Então, se tem linhas , e , a transposta terá colunas iguais a essas linhas.
Curiosamente, nesse caso, é igual a , ou seja, é uma matriz simétrica.

Passo 3

Agora, vamos calcular A + A^t = 2+2 & 3+3 & 1+1 3+3 & 4+4 & 2+2 1+1 & 2+2 & 0+0 = 4 & 6 & 2 6 & 8 & 4 2 & 4 & 0 . Como e são iguais, basta somar cada elemento correspondente das duas matrizes.

Passo 4

Agora, vamos calcular (2 times 2) + (3 times 3) + (1 times 1) = 4 + 9 + 1 = 14 , que é a multiplicação da matriz (2 times 3) + (3 times 4) + (1 times 2) = 6 + 12 + 2 = 20 pela sua transposta. Para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e soma os resultados.
Vamos calcular elemento por elemento:
  • Primeira linha e primeira coluna:
(2 times 1) + (3 times 2) + (1 times 0) = 2 + 6 + 0 = 8
  • Primeira linha e segunda coluna:
(3 times 2) + (4 times 3) + (2 times 1) = 6 + 12 + 2 = 20
  • Primeira linha e terceira coluna:
(3 times 3) + (4 times 4) + (2 times 2) = 9 + 16 + 4 = 29
  • Segunda linha e primeira coluna:
(3 times 1) + (4 times 2) + (2 times 0) = 3 + 8 + 0 = 11
  • Segunda linha e segunda coluna:
(1 times 2) + (2 times 3) + (0 times 1) = 2 + 6 + 0 = 8
  • Segunda linha e terceira coluna:
(1 times 3) + (2 times 4) + (0 times 2) = 3 + 8 + 0 = 11
  • Terceira linha e primeira coluna:
(1 times 1) + (2 times 2) + (0 times 0) = 1 + 4 + 0 = 5
  • Terceira linha e segunda coluna:
A cdot A^t = 14 & 20 & 8 20 & 29 & 11 8 & 11 & 5
  • Terceira linha e terceira coluna:
Montando a matriz resultante:

Resposta

A + A^t = 4 & 6 & 2 6 & 8 & 4 2 & 4 & 0 e A cdot A^t = 14 & 20 & 8 20 & 29 & 11 8 & 11 & 5

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