Encontre a posição relativa das duas retas a seguir, indicando, se for o caso, o ponto de interseção: x-raiz10y+4=0 e raiz30x=raiz300y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir a posição relativa de duas retas no plano, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto, são paralelas ou coincidentes. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o estudo de retas no plano cartesiano. Vamos precisar resolver o sistema de equações formado pelas duas retas para ver se elas têm um ponto em comum.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma mais simples. A primeira reta está dada por:
x - raiz10,y + 4 = 0
Podemos reescrever isso para isolar x = raiz10,y - 4 :
raiz30,x = raiz300,y
A segunda reta está dada por:
x = raiz300raiz30,y
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por raiz300raiz30 = raiz100 times 3raiz30 = 10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30 :
10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30
Simplificando as raízes:
raiz300 = raiz100 times 3 = 10raiz3
Simplificando mais, percebemos que:
raiz30 = raiz30
Na verdade, vamos simplificar de outra maneira:
raiz300raiz30 = 10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30
10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30 = 10raiz3raiz30
Então:
x = raiz300raiz30 y = 10raiz3raiz30 y = 10raiz3raiz30 y
Simplificando as raízes:
x = 10raiz3 cdot raiz3030 y = 10raiz9030 y = 10 cdot 3raiz1030 y = 30raiz1030 y = raiz10,y
Percebi que estou me repetindo, então vamos deixar x = raiz10,y :
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :
Então, a segunda reta simplifica para:

Passo 3

Agora, temos as duas equações simplificadas:
  1. Primeira reta: raiz10,y - 4 = raiz10,y
  2. Segunda reta:
Para encontrar o ponto de interseção, se existir, vamos igualar as duas expressões para :

Passo 4

Vamos resolver essa equação:
raiz10,y - 4 = raiz10,y
Subtraindo -4 = 0 de ambos os lados:
Isso é impossível! Significa que não existe nenhum valor de que satisfaça essa equação.

Passo 5

Como não encontramos nenhum ponto que satisfaça as duas equações simultaneamente, concluímos que as duas retas não se interceptam. Além disso, observando que os coeficientes angulares das retas são iguais ( ), as retas são paralelas.

Resposta

As duas retas são paralelas e não possuem ponto de interseção.

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