Encontre a posição relativa das duas retas a seguir, indicando, se for o caso, o ponto de interseção: e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir a posição relativa de duas retas no plano, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto, são paralelas ou coincidentes. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o estudo de retas no plano cartesiano. Vamos precisar resolver o sistema de equações formado pelas duas retas para ver se elas têm um ponto em comum.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma mais simples. A primeira reta está dada por:
Podemos reescrever isso para isolar :
A segunda reta está dada por:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por :
Simplificando as raízes:
Simplificando mais, percebemos que:
Na verdade, vamos simplificar de outra maneira:
Então:
Simplificando as raízes:
Percebi que estou me repetindo, então vamos deixar :
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :
Então, a segunda reta simplifica para:

Passo 3

Agora, temos as duas equações simplificadas:
  1. Primeira reta:
  2. Segunda reta:
Para encontrar o ponto de interseção, se existir, vamos igualar as duas expressões para :

Passo 4

Vamos resolver essa equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso é impossível! Significa que não existe nenhum valor de que satisfaça essa equação.

Passo 5

Como não encontramos nenhum ponto que satisfaça as duas equações simultaneamente, concluímos que as duas retas não se interceptam. Além disso, observando que os coeficientes angulares das retas são iguais ( ), as retas são paralelas.

Resposta

As duas retas são paralelas e não possuem ponto de interseção.

Exercícios relacionados

(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.
Obtenha a(s) reta(s) à(s) qual(is) pertence(m) o ponto e que faz(em) com a reta ângulo cuja tangente é . R.: e .
Considere o triângulo de vértices e . Determine a área de ;
Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
Qual a transformação de ?