Encontre a posição relativa das duas retas a seguir, indicando, se for o caso, o ponto de interseção:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir a posição relativa de duas retas no plano, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto, são paralelas ou coincidentes. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o estudo de retas no plano cartesiano. Vamos precisar resolver o sistema de equações formado pelas duas retas para ver se elas têm um ponto em comum.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma mais simples. A primeira reta está dada por:
Podemos reescrever isso para isolar
:
A segunda reta está dada por:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
:
Simplificando as raízes:
Simplificando mais, percebemos que:
Na verdade, vamos simplificar de outra maneira:
Então:
Simplificando as raízes:
Percebi que estou me repetindo, então vamos deixar
:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Então, a segunda reta simplifica para:
Passo 3
Agora, temos as duas equações simplificadas:
- Primeira reta:
- Segunda reta:
Para encontrar o ponto de interseção, se existir, vamos igualar as duas expressões para
:
Passo 4
Vamos resolver essa equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso é impossível! Significa que não existe nenhum valor de
que satisfaça essa equação.
Passo 5
Como não encontramos nenhum ponto que satisfaça as duas equações simultaneamente, concluímos que as duas retas não se interceptam. Além disso, observando que os coeficientes angulares das retas são iguais (
), as retas são paralelas.
Resposta
As duas retas são paralelas e não possuem ponto de interseção.