Calculo a integral dupla onde: e a região entre as curvas: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A questão pede para calcular a integral dupla , onde e é a região delimitada pelas curvas e , com .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais duplas, determinação de áreas de regiões delimitadas por curvas.
O que vamos precisar: Entender como determinar os limites de integração para a região e saber como configurar a integral dupla com esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. Ela é definida entre duas curvas: (uma reta) e (uma parábola). Para saber exatamente onde essas curvas se intersectam, precisamos encontrar os pontos em que elas são iguais.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Vamos resolver essa equação para :
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 4

Agora sabemos que a região se estende de até . Para cada valor de nesse intervalo, varia entre a reta e a parábola. Precisamos identificar qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo para definir os limites de .
Vamos testar um valor de entre e , por exemplo, :
  • Para :
  • Para :
Como , a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Passo 5

Com isso, podemos configurar a integral dupla. Para cada de a , varia de (inferior) até (superior). A função a ser integrada é .
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Como é tratado como uma constante em relação a , a integral de com respeito a é:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Agora, avaliamos essa antiderivada de a :

Resposta

A integral dupla é igual a .

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Calculo a integral dupla onde: e a região entre as curvas: e .
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