Calculo a integral dupla onde: e a região entre as curvas: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A questão pede para calcular a integral dupla , onde e é a região delimitada pelas curvas e , com .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais duplas, determinação de áreas de regiões delimitadas por curvas.
O que vamos precisar: Entender como determinar os limites de integração para a região e saber como configurar a integral dupla com esses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. Ela é definida entre duas curvas: (uma reta) e (uma parábola). Para saber exatamente onde essas curvas se intersectam, precisamos encontrar os pontos em que elas são iguais.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Vamos resolver essa equação para :
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .
Passo 4
Agora sabemos que a região se estende de até . Para cada valor de nesse intervalo, varia entre a reta e a parábola. Precisamos identificar qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo para definir os limites de .
Vamos testar um valor de entre e , por exemplo, :
Para :
Para :
Como , a parábola está acima da reta nesse intervalo.
Passo 5
Com isso, podemos configurar a integral dupla. Para cada de a , varia de (inferior) até (superior). A função a ser integrada é .
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Como é tratado como uma constante em relação a , a integral de com respeito a é:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^3 a (-x^3 + 3 a x^2) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral (-x^3) , dx + integral (3 a x^2) , dx = -x^44 + 3 a cdot x^33 = -x^44 + a x^3
Passo 8
Agora, avaliamos essa antiderivada de ( -(3 a)^44 + a (3 a)^3 ) - ( -0^44 + a cdot 0^3 ) = -81 a^44 + 27 a^4 = -81 a^44 + 108 a^44 = 27 a^44 a :