Calculo a integral dupla integral duplaD f(x, y) d x d y onde: f(x, y)=x e D a região entre as curvas: y=a x e y=-x^2+4 a x, a>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A questão pede para calcular a integral dupla , onde e é a região delimitada pelas curvas e , com .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais duplas, determinação de áreas de regiões delimitadas por curvas.
O que vamos precisar: Entender como determinar os limites de integração para a região e saber como configurar a integral dupla com esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. Ela é definida entre duas curvas: (uma reta) e (uma parábola). Para saber exatamente onde essas curvas se intersectam, precisamos encontrar os pontos em que elas são iguais.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
a x = -x^2 + 4 a x
Vamos resolver essa equação para -x^2 + 4 a x - a x = 0 -x^2 + 3 a x = 0 x(-x + 3 a) = 0 :
x = 0 ou -x + 3 a = 0 Rightarrow x = 3 a
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 4

Agora sabemos que a região se estende de até . Para cada valor de nesse intervalo, varia entre a reta e a parábola. Precisamos identificar qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo para definir os limites de .
Vamos testar um valor de entre e , por exemplo, :
  • Para :
  • Para :
Como , a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Passo 5

Com isso, podemos configurar a integral dupla. Para cada integral0^3 a integrala x^-x^2 + 4 a x x , dy , dx de a , varia de (inferior) até (superior). A função a ser integrada é .
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integrala x^-x^2 + 4 a x x , dy :
x cdot y |y = a x^y = -x^2 + 4 a x = x(-x^2 + 4 a x) - x(a x) = -x^3 + 4 a x^2 - a x^2 = -x^3 + 3 a x^2
Como é tratado como uma constante em relação a , a integral de com respeito a é:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^3 a (-x^3 + 3 a x^2) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral (-x^3) , dx + integral (3 a x^2) , dx = -x^44 + 3 a cdot x^33 = -x^44 + a x^3

Passo 8

Agora, avaliamos essa antiderivada de ( -(3 a)^44 + a (3 a)^3 ) - ( -0^44 + a cdot 0^3 ) = -81 a^44 + 27 a^4 = -81 a^44 + 108 a^44 = 27 a^44 a :

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados