Encontre uma representação em séries de potência para as funções e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar uma representação em séries de potência para a função e também determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e manipulação algébrica de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a aplicação da série geométrica. Observa que teremos uma expressão no denominador que é do tipo , onde será uma expressão envolvendo .
Podemos fatorar do denominador:

Passo 3

Agora, lembramos que a série geométrica é dada por:
Aqui, nosso é . Então, podemos substituir na série geométrica:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. A série geométrica converge quando o módulo de é menor que 1:

Resposta

A representação em série de potência para é:
Essa série converge para valores de que satisfazem:

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