Encontre uma representação em séries de potência para as funções e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar uma representação em séries de potência para a função e também determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e manipulação algébrica de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a aplicação da série geométrica. Observa que teremos uma expressão no denominador que é do tipo , onde será uma expressão envolvendo .
Podemos fatorar do denominador:
Passo 3
Agora, lembramos que a série geométrica é dada por:
Aqui, nosso é . Então, podemos substituir na série geométrica:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão de :
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. A série geométrica converge quando o módulo de é menor que 1:
Resposta
A representação em série de potência para é:
Essa série converge para valores de que satisfazem: