Determine se as séries alternantes abaixo convergem ou divergem:

Passo 1

Então, temos uma série alternante para analisar: . Isso significa que os termos da série mudam de sinal a cada passo. Vamos usar o teste das séries alternantes para verificar se essa série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a parte positiva dos termos, que é . Vamos chamar isso de .

Passo 3

Agora, vamos verificar duas condições do teste das séries alternantes:
  1. é decrescente: Temos que ver se cada termo é menor que o anterior.
  2. : O limite dos termos deve ser zero.

Passo 4

Vamos verificar se é decrescente. Observando que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador conforme aumenta, fica claro que os termos estão diminuindo.

Passo 5

Agora, calculamos o limite:
Isso porque cresce exponencialmente enquanto cresce linearmente, fazendo com que o quociente tende a zero.

Resposta

Como ambas as condições do teste das séries alternantes são satisfeitas, a série converge.

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