Determine se as séries alternantes abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Então, temos uma série alternante para analisar:
. Isso significa que os termos da série mudam de sinal a cada passo. Vamos usar o teste das séries alternantes para verificar se essa série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a parte positiva dos termos, que é
. Vamos chamar isso de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar duas condições do teste das séries alternantes:
-
é decrescente: Temos que ver se cada termo é menor que o anterior. -
: O limite dos termos deve ser zero.
Passo 4
Vamos verificar se
é decrescente. Observando que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador conforme
aumenta, fica claro que os termos estão diminuindo.
Passo 5
Agora, calculamos o limite:
Isso porque
cresce exponencialmente enquanto
cresce linearmente, fazendo com que o quociente tende a zero.
Resposta
Como ambas as condições do teste das séries alternantes são satisfeitas, a série
converge.
Exercícios relacionados
Determine se as séries alternantes abaixo convergem ou divergem:
Use o teste da comparação e determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
Encontre uma representação em séries de potência para as funções e determine o intervalo de convergência.
Calculo a integral dupla
onde:
e
a região entre as curvas:
e
.