Para o cálculo dos limites, por vezes temos que utilizar os limites laterais para encontrar o limite da função. Se lim_{x → a} f(x) = c, então existem os limites laterais e esses também são iguais a c. Por outro lado, se existem os limites laterais e se ambos são iguais a c, então existe o limite de f e esse também deve ser igual a c. Seja f(x) = |sin(x)| / x. Com relação à função dada e aos seus conhecimentos sobre limite, assinale a alternativa correta.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular limites usando limites laterais. A função que temos é $ f(x) = \frac{|\sin(x)|}{x} $. Vamos precisar entender como os limites laterais funcionam para determinar o limite dessa função quando $ x $ se aproxima de um valor específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar para qual valor de $ x $ estamos calculando o limite. Embora não esteja explícito, geralmente consideramos o limite quando $ x $ se aproxima de 0. Então, nosso objetivo é achar $ \lim_{x \to 0} \frac{|\sin(x)|}{x} $.
Passo 3
Para calcular esse limite, vamos usar propriedades dos limites e conhecer o comportamento da função seno perto de 0. Sabemos que $ \sin(x) $ é aproximadamente igual a $ x $ quando $ x $ está próximo de 0. Isso significa que $ |\sin(x)| $ também será aproximadamente $ |x| $ perto de 0.
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação na função: $ \frac{|\sin(x)|}{x} \approx \frac{|x|}{x} $. Vamos analisar isso mais de perto.
Passo 5
Quando $ x $ se aproxima de 0 pelo lado positivo ($ x \to 0^+ $), $ |x| = x $. Então, $ \frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1 $.
Passo 6
Já quando $ x $ se aproxima de 0 pelo lado negativo ($ x \to 0^- $), $ |x| = -x $. Então, $ \frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1 $.
Passo 7
Percebemos que os limites laterais são diferentes: pelo lado positivo, o limite é 1, e pelo lado negativo, é -1. Mas isso acontece porque simplificamos $ \frac{|\sin(x)|}{x} $ para $ \frac{|x|}{x} $, o que não é totalmente preciso.
Passo 8
Na verdade, $ |\sin(x)| $ sempre é positivo, assim como $ |x| $. Portanto, $ \frac{|\sin(x)|}{x} = \frac{|\sin(x)|}{|x|} $. Sabemos que $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $, então $ \lim_{x \to 0} \frac{|\sin(x)|}{|x|} = 1 $.
Passo 9
Dessa forma, ambos os limites laterais são iguais a 1. Isso significa que o limite existe e é igual a 1.
Resposta
O limite de $ \frac{|\sin(x)|}{x} $ quando $ x $ se aproxima de 0 é igual a 1.