Vinte quatro retas são desenhadas no plano de modo que cada reta seja paralela a exatamente outras três. Além disso, não há três retas que se cruzem em um mesmo ponto. Qual o número total de pontos de interseção entre essas retas?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos 24 retas desenhadas no plano, onde cada reta é paralela a exatamente outras três retas. Além disso, nenhuma três retas se cruzam no mesmo ponto. Nosso objetivo é descobrir o número total de pontos de interseção entre essas retas.
Estamos lidando com conceitos de geometria plana, especificamente sobre retas paralelas e pontos de interseção. Para resolver isso, vamos precisar entender como retas paralelas se relacionam e como calcular interseções entre retas não paralelas.

Passo 2

Como cada reta é paralela a exatamente outras três, isso significa que cada reta forma um conjunto de retas paralelas. Se uma reta é paralela a três outras, então temos grupos de retas paralelas. Vamos descobrir quantos grupos existem.
Se cada grupo de retas paralelas contém 4 retas (a reta original mais as três paralelas a ela), precisamos determinar quantos tais grupos existem dentro das 24 retas.

Passo 3

Para encontrar o número de grupos de retas paralelas, dividimos o total de retas pelo número de retas em cada grupo. Assim:
Número de grupos = 244 = 6 ú
Portanto, temos 6 grupos de retas paralelas, com 4 retas em cada grupo.

Passo 4

Retas que são paralelas não se intersectam. Então, os pontos de interseção ocorrem apenas entre retas de grupos diferentes. Para calcular o número total de pontos de interseção, precisamos multiplicar o número de retas em um grupo pelo número de retas em outro grupo, para todos os pares de grupos.

Passo 5

Primeiro, calculamos quantos pares de grupos diferentes existem. Com 6 grupos, o número de pares é calculado pela combinação de 6 grupos tomados 2 a 2:
Número de pares de grupos = binom62 = 6 times 52 times 1 = 15 ú

Passo 6

Cada par de grupos contém 4 retas em um grupo e 4 retas no outro. Cada reta de um grupo se intersecta com todas as retas do outro grupo. Portanto, o número de interseções por par de grupos é:
4 times 4 = 16

Passo 7

Agora, multiplicamos o número de interseções por par de grupos pelo número total de pares de grupos para encontrar o número total de pontos de interseção:
16 times 15 = 240

Resposta

O número total de pontos de interseção entre as 24 retas é 240.

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