Cálculo de linearizaçōes Nos Exercícios 25-30, encontre a linearização L(x, y) da função em cada ponto. f(x, y) = e^x * cos(y) em (0, pi / 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a linearização da função no ponto . A linearização é uma maneira de aproximar uma função complicada por uma equação de reta (ou plano, no caso de funções de duas variáveis) perto de um ponto específico. Para fazer isso, vamos precisar calcular o valor da função nesse ponto e as derivadas parciais em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto dado .
Sabemos que e , então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Como é tratado como uma constante em relação a , a derivada fica:
Agora, avaliamos no ponto :

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Aqui, é constante em relação a , então:
Avaliando no ponto :

Passo 5

Com os valores calculados, podemos montar a expressão da linearização usando a fórmula:
Onde . Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A linearização da função no ponto é:

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