Uma função quadrática tem um gráfico cujo vértice é o ponto
. Sabendo que 2 é uma raiz de
, obtenha a expressão de
e determine os valores de
para que
.
Passo 1
Então, vamos lá! O problema fala sobre uma função quadrática. A gente sabe que o gráfico dessa função é uma parábola. Aqui, nos dão o vértice da parábola, que é o ponto
, e uma das raízes, que é
. Nosso objetivo é descobrir a expressão completa da função
e encontrar os valores de
para os quais
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a forma vértice de uma função quadrática é:
Onde
é o vértice da parábola. No nosso caso,
e
, então substituímos na fórmula:
Passo 3
Agora, sabemos que
é uma raiz da função, ou seja,
. Vamos usar isso para encontrar o valor de
. Substituindo na expressão:
Simplificando:
Passo 4
Com o valor de
encontrado, podemos escrever a expressão completa da função:
Vamos expandir para a forma padrão:
Passo 5
Agora, queremos saber para quais valores de
a função
é maior que zero, ou seja,
. Vamos resolver a inequação:
Primeiro, podemos dividir tudo por 4 para simplificar:
Agora, resolvemos a equação quadrática associada:
Achando as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
. A parábola abre para cima (já que o coeficiente de
é positivo), então a função é positiva fora das raízes.
Resposta
A expressão da função é
. Os valores de
para os quais
são todos os números reais menores que
ou maiores que
, ou seja,
ou
.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Sabendo que
e
, decida quais afirmações abaixo são verdadeiras.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Cálculo de linearizaçōes Nos Exercícios 25-30, encontre a linearização
da função em cada ponto.
em
Se
é dada por
, determine:
(a)
(b)
©
(d) o elemento cuja imagem é 0.
(a)
(b)
©
(d) o elemento cuja imagem é 0.
Se
é a função de
em
dada por
, determine o valor de
.