Uma função quadrática tem um gráfico cujo vértice é o ponto 3,-4. Sabendo que 2 é uma raiz de f, obtenha a expressão de f e determine os valores de x para que f(x) > 0.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema fala sobre uma função quadrática. A gente sabe que o gráfico dessa função é uma parábola. Aqui, nos dão o vértice da parábola, que é o ponto , e uma das raízes, que é x = 2. Nosso objetivo é descobrir a expressão completa da função f(x) e encontrar os valores de x para os quais .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma vértice de uma função quadrática é:
Onde é o vértice da parábola. No nosso caso, e , então substituímos na fórmula:

Passo 3

Agora, sabemos que x = 2 é uma raiz da função, ou seja, . Vamos usar isso para encontrar o valor de a. Substituindo na expressão:
Simplificando:

Passo 4

Com o valor de a encontrado, podemos escrever a expressão completa da função:
Vamos expandir para a forma padrão:

Passo 5

Agora, queremos saber para quais valores de x a função f(x) é maior que zero, ou seja, . Vamos resolver a inequação:
Primeiro, podemos dividir tudo por 4 para simplificar:
Agora, resolvemos a equação quadrática associada:
Achando as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são x = 2 e . A parábola abre para cima (já que o coeficiente de é positivo), então a função é positiva fora das raízes.

Resposta

A expressão da função é . Os valores de x para os quais são todos os números reais menores que ou maiores que , ou seja, ou .

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