Uma função quadrática tem um gráfico cujo vértice é o ponto . Sabendo que 2 é uma raiz de , obtenha a expressão de e determine os valores de para que .

Passo 1

Então, vamos lá! O problema fala sobre uma função quadrática. A gente sabe que o gráfico dessa função é uma parábola. Aqui, nos dão o vértice da parábola, que é o ponto , e uma das raízes, que é . Nosso objetivo é descobrir a expressão completa da função e encontrar os valores de para os quais .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma vértice de uma função quadrática é:
Onde é o vértice da parábola. No nosso caso, e , então substituímos na fórmula:

Passo 3

Agora, sabemos que é uma raiz da função, ou seja, . Vamos usar isso para encontrar o valor de . Substituindo na expressão:
Simplificando:

Passo 4

Com o valor de encontrado, podemos escrever a expressão completa da função:
Vamos expandir para a forma padrão:

Passo 5

Agora, queremos saber para quais valores de a função é maior que zero, ou seja, . Vamos resolver a inequação:
Primeiro, podemos dividir tudo por 4 para simplificar:
Agora, resolvemos a equação quadrática associada:
Achando as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e . A parábola abre para cima (já que o coeficiente de é positivo), então a função é positiva fora das raízes.

Resposta

A expressão da função é . Os valores de para os quais são todos os números reais menores que ou maiores que , ou seja, ou .

Exercícios relacionados

Considere a função . Sabendo que e , decida quais afirmações abaixo são verdadeiras.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Cálculo de linearizaçōes Nos Exercícios 25-30, encontre a linearização da função em cada ponto. em
Se é dada por , determine:
(a)
(b)
©
(d) o elemento cuja imagem é 0.
Se é a função de em dada por , determine o valor de .