Nos Exercícios 9-12, encontre uma equação para o plano tangente à superfície determinada no ponto dado. z = e^(- (x^2 + y^2)), (0, 0, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . A matéria que vamos usar aqui é derivadas parciais e a equação do plano tangente. Precisamos calcular as derivadas de em relação a e no ponto dado para montar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar o plano tangente a uma superfície no ponto . A fórmula geral é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é simplesmente .

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