Encontre o dominio e a imagem das funçōes

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio e a imagem de quatro funções diferentes. O conteúdo que vamos usar aqui envolve entender o que é domínio (todos os valores de entrada que a função aceita) e imagem (todos os valores de saída que a função pode produzir). Para isso, precisamos conhecer as propriedades de funções racionais, logarítmicas, raízes quadradas e funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
Domínio: O domínio são todos os valores de que não deixam o denominador igual a zero, pois divisão por zero não é permitida.
Domínio de :
Imagem: Uma função racional como essa pode assumir todos os valores reais, exceto aquele que faz com que a expressão iguale a um valor que não pode ser atingido. Como não há restrições além do domínio, a imagem é .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda função:
Domínio: O argumento do logaritmo natural deve ser positivo.
Domínio de :
Imagem: O logaritmo natural pode produzir qualquer número real, então a imagem é .

Passo 4

Vamos para a terceira função:
Domínio: O que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero.
Então, deve estar entre -2 e 2.
Domínio de :
Imagem: A expressão varia de 0 a 4, já que varia de 0 a 16.

Passo 5

Por último, temos a quarta função:
Domínio: A função cosseno está definida para todos os números reais.
Domínio de :
Imagem: O cosseno oscila entre -1 e 1. Então, ao multiplicar por 2 e somar 3:

Resposta

  • Domínio de :
  • Imagem de :
  • Domínio de :
  • Imagem de :
  • Domínio de :
  • Imagem de : [0, 4]
  • Domínio de :
  • Imagem de : [2, 4]

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