Cálculo, vol. Il - Howard Anton, pág. 874 a 876.

1-4. Determine se possui parametrização lisa, isto é, se é contínua .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer saber se a função vetorial tem uma parametrização lisa. Isso significa que precisamos verificar se a derivada é contínua e nunca é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculos de derivadas e propriedades de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial . A derivada de cada componente em relação a é:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a derivada é contínua. Observando as componentes:
  • é um polinômio, que é contínuo para todo .
  • também é um polinômio, logo é contínuo.
  • é igualmente contínuo.
Como todas as componentes são funções contínuas, a derivada é contínua em todo o seu domínio.

Passo 4

Por último, vamos garantir que nunca é o vetor zero. Para isso, verificamos quando cada componente seria igual a zero:
Analisando, vemos que para , as componentes e são zero, mas a componente é , que não é zero. Para , a componente seria zero, mas as outras componentes não são simultaneamente zero. Portanto, nunca é o vetor zero.

Resposta

A função possui parametrização lisa, já que sua derivada é contínua e nunca é o vetor zero.

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