Cálculo, vol. Il - Howard Anton, pág. 874 a 876.

1-4. Determine se r(t) possui parametrização lisa, isto é, se r'(t) é contínua e != 0.
  1. r(t) = t^3 i + (3 t^2 - 2 t) j + t^2 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer saber se a função vetorial r(t) tem uma parametrização lisa. Isso significa que precisamos verificar se a derivada é contínua e nunca é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculos de derivadas e propriedades de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial r(t). A derivada de cada componente em relação a t é:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a derivada é contínua. Observando as componentes:
  • é um polinômio, que é contínuo para todo t.
  • também é um polinômio, logo é contínuo.
  • é igualmente contínuo.
Como todas as componentes são funções contínuas, a derivada é contínua em todo o seu domínio.

Passo 4

Por último, vamos garantir que nunca é o vetor zero. Para isso, verificamos quando cada componente seria igual a zero:
Analisando, vemos que para , as componentes i e k são zero, mas a componente j é -2, que não é zero. Para , a componente j seria zero, mas as outras componentes não são simultaneamente zero. Portanto, nunca é o vetor zero.

Resposta

A função r(t) possui parametrização lisa, já que sua derivada é contínua e nunca é o vetor zero.

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