Cálculo, vol. Il - Howard Anton, pág. 874 a 876.
1-4. Determine se
possui parametrização lisa, isto é, se
é contínua
.
-
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer saber se a função vetorial
tem uma parametrização lisa. Isso significa que precisamos verificar se a derivada
é contínua e nunca é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculos de derivadas e propriedades de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial
. A derivada de cada componente em relação a
é:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a derivada
é contínua. Observando as componentes:
-
é um polinômio, que é contínuo para todo . -
também é um polinômio, logo é contínuo. -
é igualmente contínuo.
Como todas as componentes são funções contínuas, a derivada
é contínua em todo o seu domínio.
Passo 4
Por último, vamos garantir que
nunca é o vetor zero. Para isso, verificamos quando cada componente seria igual a zero:
Analisando, vemos que para
, as componentes
e
são zero, mas a componente
é
, que não é zero. Para
, a componente
seria zero, mas as outras componentes não são simultaneamente zero. Portanto,
nunca é o vetor zero.
Resposta
A função
possui parametrização lisa, já que sua derivada
é contínua e nunca é o vetor zero.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
Passa pelo ponto
, paralela à reta