Caleule a diferencial total nos casos: w = f(x, y, z) = x^2 * x * y + z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a diferencial total da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente tratando de diferenciais parciais e total. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais em relação a cada variável e depois combinar tudo para obter a diferencial total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo, ) é a taxa de variação da função quando apenas muda, mantendo as outras variáveis fixas.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
    Aqui, tratamos e como constantes. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é 0.
  2. Derivada parcial em relação a :
    Novamente, e são constantes aqui. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é 0.
  3. Derivada parcial em relação a :
    Aqui, e são constantes, e a derivada de em relação a é 1.

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar a diferencial total . A fórmula para a diferencial total é:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Resposta

A diferencial total é:

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