Marcar o ponto tendo o conjunto dado de coordenadas polares; depois encontrar outro conjunto de coordenadas polares para o mesmo ponto, tal que:
(i) r < 0, 0 <= theta <= 2 pi;
(ii) r > 0, -2 pi < theta <= 0;
(iii) r < 0, -2 pi < theta <= 0
d) (-5 pi/3, -1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um ponto definido pelas coordenadas polares . Coordenadas polares são representadas por , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . O exercício quer que a gente desenhe esse ponto no sistema polar e depois encontre outros conjuntos de coordenadas polares que representem o mesmo ponto, mas atendendo a diferentes condições de e .

Passo 2

Vamos começar marcando o ponto no sistema de coordenadas polares. Aqui, e . No entanto, normalmente é positivo, então um negativo significa que o ponto está na direção oposta do ângulo . Portanto, para desenhar esse ponto, encontramos o ângulo (que é igual a no sentido horário a partir do eixo positivo ) e então vamos na direção oposta devido ao negativo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar outros conjuntos de coordenadas polares para o mesmo ponto, seguindo as condições dadas:
i) , :
Para negativo e entre e , podemos ajustar o ângulo adicionando ao ângulo original para mantê-lo no intervalo desejado.
Então, as novas coordenadas serão .
ii) , :
Para positivo, precisamos ajustar o ângulo para estar no intervalo a . Podemos adicionar ao ângulo original e inverter o sinal de :
Então, as novas coordenadas serão .
iii) , :
Já que é negativo e está entre e , podemos simplesmente ajustar sem alterar o sinal de :
Como isso excede o intervalo , precisamos subtrair :
Portanto, as coordenadas permanecem .

Resposta

As diferentes coordenadas polares para o ponto são:
i)
ii)
iii)

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