Marcar o ponto tendo o conjunto dado de coordenadas polares; depois encontrar outro conjunto de coordenadas polares para o mesmo ponto, tal que:
(i)
;
(ii)
;
(iii)
d)
(i)
(ii)
(iii)
d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um ponto definido pelas coordenadas polares
. Coordenadas polares são representadas por
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
. O exercício quer que a gente desenhe esse ponto no sistema polar e depois encontre outros conjuntos de coordenadas polares que representem o mesmo ponto, mas atendendo a diferentes condições de
e
.
Passo 2
Vamos começar marcando o ponto
no sistema de coordenadas polares. Aqui,
e
. No entanto, normalmente
é positivo, então um
negativo significa que o ponto está na direção oposta do ângulo
. Portanto, para desenhar esse ponto, encontramos o ângulo
(que é igual a
no sentido horário a partir do eixo positivo
) e então vamos na direção oposta devido ao
negativo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar outros conjuntos de coordenadas polares para o mesmo ponto, seguindo as condições dadas:
i)
,
:
Para
negativo e
entre
e
, podemos ajustar o ângulo
adicionando
ao ângulo original para mantê-lo no intervalo desejado.
Então, as novas coordenadas serão
.
ii)
,
:
Para
positivo, precisamos ajustar o ângulo
para estar no intervalo
a
. Podemos adicionar
ao ângulo original e inverter o sinal de
:
Então, as novas coordenadas serão
.
iii)
,
:
Já que
é negativo e
está entre
e
, podemos simplesmente ajustar
sem alterar o sinal de
:
Como isso excede o intervalo
, precisamos subtrair
:
Portanto, as coordenadas permanecem
.
Resposta
As diferentes coordenadas polares para o ponto
são:
i)
ii)
iii)