Encontre a área da região limitada pela curva
.
Passo 1
Beleza! A questão pede para encontrar a área da região limitada pela curva
. Aqui, estamos lidando com coordenadas polares, e para calcular áreas nesse sistema, vamos precisar usar uma fórmula específica de integração. Então, vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares e entender como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Isso significa que a área (
) é igual a metade da integral de
em relação a
, entre os limites
e
que definem a região que queremos calcular.
Passo 3
Nossa curva é
. Para saber quais são os limites de integração (
e
), vamos pensar em como essa curva se comporta. O gráfico de
é um círculo com raio 1 e centro no ponto
no plano polar. Esse círculo é feito quando
varia de
a
, porque fora desse intervalo, o valor de
começa a se repetir.
Passo 4
Agora, vamos identificar os limites de integração. Como a curva completa um círculo quando
vai de
a
, esses serão nossos limites de integração. Ou seja,
e
.
Passo 5
Vamos agora substituir
na fórmula da área:
Simplificando
:
Então, a fórmula fica:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, precisamos resolver a integral de
. Para isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a integração.
Passo 7
A identidade trigonométrica que vamos usar é:
Substituindo isso na nossa integral:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 9
Integrando:
Onde
é a constante de integração, que vamos eliminar ao calcular o valor definido da integral.
Passo 10
Agora, avaliamos a integral entre
e
:
Sabendo que
e
, temos:
Resposta
A área da região limitada pela curva
é
unidades quadradas.