Encontre a área da região limitada pela curva r = 2 cos(θ).

Passo 1

Beleza! A questão pede para encontrar a área da região limitada pela curva . Aqui, estamos lidando com coordenadas polares, e para calcular áreas nesse sistema, vamos precisar usar uma fórmula específica de integração. Então, vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares e entender como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Isso significa que a área ( ) é igual a metade da integral de em relação a , entre os limites e que definem a região que queremos calcular.

Passo 3

Nossa curva é . Para saber quais são os limites de integração ( e ), vamos pensar em como essa curva se comporta. O gráfico de é um círculo com raio 1 e centro no ponto no plano polar. Esse círculo é feito quando varia de a , porque fora desse intervalo, o valor de começa a se repetir.

Passo 4

Agora, vamos identificar os limites de integração. Como a curva completa um círculo quando vai de a , esses serão nossos limites de integração. Ou seja, e .

Passo 5

Vamos agora substituir na fórmula da área:
Simplificando :
Então, a fórmula fica:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, precisamos resolver a integral de . Para isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a integração.

Passo 7

A identidade trigonométrica que vamos usar é:
Substituindo isso na nossa integral:

Passo 8

Simplificando a expressão:
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 9

Integrando:
Onde é a constante de integração, que vamos eliminar ao calcular o valor definido da integral.

Passo 10

Agora, avaliamos a integral entre e :
Sabendo que e , temos:

Resposta

A área da região limitada pela curva é unidades quadradas.

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