Dada a função , determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy. g)

Passo 1

Vamos analisar a função . O objetivo é encontrar as assíntotas, valores críticos, extremos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e esboçar o gráfico com os interceptos nos eixos e .

Passo 2

**Assíntotas Verticais:** Assíntotas verticais acontecem onde o denominador da função é zero, pois a função tende ao infinito nesses pontos. Vamos resolver : Como não existem soluções reais, não há assíntotas verticais. **Assíntotas Horizontais:** Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando tende a : Portanto, a assíntota horizontal é , que é o eixo .

Passo 3

**Intercepto no Eixo :** Para encontrar onde a função intercepta o eixo , calculamos : Então, o intercepto no eixo é . **Interceptos no Eixo :** A função intercepta o eixo quando . Porém, como o numerador é constante (3) e denominador sempre positivo, não há interceptos no eixo .

Passo 4

**Primeira Derivada e Valores Críticos:** Vamos encontrar a primeira derivada para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Os valores críticos ocorrem onde ou onde não está definida. Como o denominador nunca é zero, resolvemos: Então, temos um valor crítico em .

Passo 5

**Segunda Derivada e Pontos de Inflexão:** Agora, vamos calcular a segunda derivada : Pontos de inflexão ocorrem quando :

Passo 6

**Análise dos Extremos Relativos:** Vamos usar a primeira derivada para determinar se o valor crítico em é um máximo ou mínimo. - Para , escolha : á - Para , escolha : á Como a função passa de crescente para decrescente em , temos um **máximo relativo** nesse ponto. **Valor do Máximo Relativo:**

Passo 7

**Intervalos de Crescimento e Decrescimento:** - **Crescimento:** - **Decrescimento:**

Passo 8

**Pontos de Inflexão e Concavidade:** - **Pontos de Inflexão:** e - **Concavidade:** - Para , concavo para baixo - Para , concavo para cima

Passo 9

Resposta

Resposta

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Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo. (c)