Dada a função f(x), determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
g) f(x) = 3/(x^2 + 1)

Passo 1

Vamos analisar a função . O objetivo é encontrar as assíntotas, valores críticos, extremos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e esboçar o gráfico com os interceptos nos eixos e .

Passo 2

Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais acontecem onde o denominador da função é zero, pois a função tende ao infinito nesses pontos. Vamos resolver :
Como não existem soluções reais, não há assíntotas verticais.
Assíntotas Horizontais:
Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando tende a :
Portanto, a assíntota horizontal é , que é o eixo .

Passo 3

Intercepto no Eixo :
Para encontrar onde a função intercepta o eixo , calculamos :
Então, o intercepto no eixo é .
Interceptos no Eixo :
A função intercepta o eixo quando . Porém, como o numerador é constante (3) e denominador sempre positivo, não há interceptos no eixo .

Passo 4

Primeira Derivada e Valores Críticos:
Vamos encontrar a primeira derivada para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Os valores críticos ocorrem onde ou onde não está definida. Como o denominador nunca é zero, resolvemos:
Então, temos um valor crítico em .

Passo 5

Segunda Derivada e Pontos de Inflexão:
Agora, vamos calcular a segunda derivada :
Pontos de inflexão ocorrem quando :

Passo 6

Análise dos Extremos Relativos:
Vamos usar a primeira derivada para determinar se o valor crítico em é um máximo ou mínimo.
  • Para , escolha :
    á
  • Para , escolha :
    á
Como a função passa de crescente para decrescente em , temos um máximo relativo nesse ponto.
Valor do Máximo Relativo:

Passo 7

Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
  • Crescimento:
  • Decrescimento:

Passo 8

Pontos de Inflexão e Concavidade:
  • Pontos de Inflexão: e
  • Concavidade:
    • Para , concavo para baixo
    • Para , concavo para cima

Passo 9

Resposta

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