Dada a função
, determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
g)
g)
Passo 1
Vamos analisar a função
. O objetivo é encontrar as assíntotas, valores críticos, extremos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e esboçar o gráfico com os interceptos nos eixos
e
.
Passo 2
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais acontecem onde o denominador da função é zero, pois a função tende ao infinito nesses pontos. Vamos resolver :
Assíntotas verticais acontecem onde o denominador da função é zero, pois a função tende ao infinito nesses pontos. Vamos resolver
Como não existem soluções reais, não há assíntotas verticais.
Assíntotas Horizontais:
Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando tende a
:
Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando
Portanto, a assíntota horizontal é
, que é o eixo
.
Passo 3
Intercepto no Eixo
:
Para encontrar onde a função intercepta o eixo , calculamos
:
Para encontrar onde a função intercepta o eixo
Então, o intercepto no eixo
é
.
Interceptos no Eixo
:
A função intercepta o eixo quando
. Porém, como o numerador é constante (3) e denominador sempre positivo, não há interceptos no eixo
.
A função intercepta o eixo
Passo 4
Primeira Derivada e Valores Críticos:
Vamos encontrar a primeira derivada para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Vamos encontrar a primeira derivada
Os valores críticos ocorrem onde
ou onde
não está definida. Como o denominador nunca é zero, resolvemos:
Então, temos um valor crítico em
.
Passo 5
Segunda Derivada e Pontos de Inflexão:
Agora, vamos calcular a segunda derivada :
Agora, vamos calcular a segunda derivada
Pontos de inflexão ocorrem quando
:
Passo 6
Análise dos Extremos Relativos:
Vamos usar a primeira derivada para determinar se o valor crítico em é um máximo ou mínimo.
Vamos usar a primeira derivada para determinar se o valor crítico em
-
Para
, escolha : -
Para
, escolha :
Como a função passa de crescente para decrescente em
, temos um máximo relativo nesse ponto.
Valor do Máximo Relativo:
Passo 7
Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
- Crescimento:
- Decrescimento:
Passo 8
Pontos de Inflexão e Concavidade:
-
Pontos de Inflexão:
e -
Concavidade:
- Para
, concavo para baixo - Para
, concavo para cima
- Para
Passo 9
Resposta