Dada a função , determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
g)
Passo 1
Vamos analisar a função . O objetivo é encontrar as assíntotas, valores críticos, extremos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e esboçar o gráfico com os interceptos nos eixos e .
Passo 2
**Assíntotas Verticais:**
Assíntotas verticais acontecem onde o denominador da função é zero, pois a função tende ao infinito nesses pontos. Vamos resolver :
Como não existem soluções reais, não há assíntotas verticais.
**Assíntotas Horizontais:**
Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando tende a :
Portanto, a assíntota horizontal é , que é o eixo .
Passo 3
**Intercepto no Eixo :**
Para encontrar onde a função intercepta o eixo , calculamos :
Então, o intercepto no eixo é .
**Interceptos no Eixo :**
A função intercepta o eixo quando . Porém, como o numerador é constante (3) e denominador sempre positivo, não há interceptos no eixo .
Passo 4
**Primeira Derivada e Valores Críticos:**
Vamos encontrar a primeira derivada para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Os valores críticos ocorrem onde ou onde não está definida. Como o denominador nunca é zero, resolvemos:
Então, temos um valor crítico em .
Passo 5
**Segunda Derivada e Pontos de Inflexão:**
Agora, vamos calcular a segunda derivada :
Pontos de inflexão ocorrem quando :
Passo 6
**Análise dos Extremos Relativos:**
Vamos usar a primeira derivada para determinar se o valor crítico em é um máximo ou mínimo.
- Para , escolha :
- Para , escolha :
Como a função passa de crescente para decrescente em , temos um **máximo relativo** nesse ponto.
**Valor do Máximo Relativo:**
Passo 7
**Intervalos de Crescimento e Decrescimento:**
- **Crescimento:**
- **Decrescimento:**
Passo 8
**Pontos de Inflexão e Concavidade:**
- **Pontos de Inflexão:** e
- **Concavidade:**
- Para , concavo para baixo
- Para , concavo para cima
Passo 9
Resposta
Resposta
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Encontre a área da região limitada pela curva .
Caleule as integrais duplas. é a região compreendida por , e
Encontre a derivada:
Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
(c)