Use integração por partes para resolver as integrais: integral x d xsin ^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente das técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes e entender como aplicar cada parte dela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Nessa fórmula, precisamos escolher as partes e da nossa integral original.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x e dv = 1sin^2(x) , dx
Essa escolha é boa porque é simples de derivar e podemos integrar.

Passo 4

Agora, vamos encontrar du = dx (derivando (u = x)) e v = integral 1sin^2(x) , dx = -cot(x) :
Para encontrar , integramos :
Lembre que , então a integral de é .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral xsin^2(x) , dx = x cdot (-cot(x)) - integral (-cot(x)) cdot dx

Passo 6

Simplificando a expressão:
-x cot(x) + integral cot(x) , dx
Agora, precisamos calcular .

Passo 7

Sabemos que:
integral cot(x) , dx = ln|sin(x)| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Substituindo de volta na expressão anterior:
-x cot(x) + ln|sin(x)| + C

Resposta

A integral -x cot(x) + ln|sin(x)| + C é igual a:

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