Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função e precisa descobrir qual é o domínio dessa função e também o domínio das suas derivadas parciais de primeira ordem. Basicamente, o domínio é o conjunto de valores que e podem assumir para que a função e suas derivadas estejam bem definidas. Vamos usar conceitos de trigonometria e cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de e que fazem com que a função seja definida.

Passo 3

Vamos analisar os componentes da função: e . Tanto o seno quanto o cosseno são funções trigonométricas que estão definidas para todos os números reais. Isso significa que não há restrições nos valores de e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função .
Primeira derivada parcial em relação a :
Primeira derivada parcial em relação a :

Passo 5

Vamos analisar o domínio dessas derivadas parciais. Novamente, observamos que tanto quanto são compostas por funções trigonométricas que estão definidas para todos os números reais. Portanto, não há restrições nos valores de e para as derivadas parciais.

Resposta

O domínio da função e o domínio das suas derivadas parciais de primeira ordem são todos os números reais para e . Em outras palavras, para qualquer e reais, a função e suas derivadas parciais estão bem definidas.

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a)