Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa descobrir qual é o domínio dessa função e também o domínio das suas derivadas parciais de primeira ordem. Basicamente, o domínio é o conjunto de valores que
e
podem assumir para que a função e suas derivadas estejam bem definidas. Vamos usar conceitos de trigonometria e cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de
e
que fazem com que a função seja definida.
Passo 3
Vamos analisar os componentes da função:
e
. Tanto o seno quanto o cosseno são funções trigonométricas que estão definidas para todos os números reais. Isso significa que não há restrições nos valores de
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
Primeira derivada parcial em relação a
:
Primeira derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Vamos analisar o domínio dessas derivadas parciais. Novamente, observamos que tanto
quanto
são compostas por funções trigonométricas que estão definidas para todos os números reais. Portanto, não há restrições nos valores de
e
para as derivadas parciais.
Resposta
O domínio da função
e o domínio das suas derivadas parciais de primeira ordem são todos os números reais para
e
. Em outras palavras, para qualquer
e
reais, a função e suas derivadas parciais estão bem definidas.
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a)
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