Caleule as seguintes integrais de linha ao longo da ourva indicada:
integral(-1.1)^(1.1) x y d x-y^2 d y,ao longo da parábola y=x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integral(-1,1)^(1,1) x y , dx - y^2 , dy
ao longo da parábola y = x^2. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha, que fazem parte da matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva dada e substituir na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva y = x^2. Como estamos indo de x = -1 a x = 1, podemos usar x como nosso parâmetro. Então, nosso parâmetro t será igual a x, variando de -1 a 1. Assim, temos:
x(t) = t y(t) = t^2
onde t varia de -1 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t para substituir na integral. Calculando, temos:
dxdt = 1 dydt = 2t
Dessa forma, dx = dt e dy = 2t , dt.

Passo 4

Vamos substituir as parametrizações e as derivadas na integral original:
integral(-1,1)^(1,1) x y , dx - y^2 , dy = integral-1^1 [t cdot t^2] cdot dt - [t^2]^2 cdot 2t , dt
Simplificando os termos dentro da integral:
= integral-1^1 t^3 , dt - 2t^5 , dt

Passo 5

Agora, separamos a integral em duas partes:
integral-1^1 t^3 , dt - 2 integral-1^1 t^5 , dt
Calculando cada integral:
  1. Para integral-1^1 t^3 , dt:
A função t^3 é ímpar, e o intervalo é simétrico em relação a zero, então essa integral vale 0.
  1. Para 2 integral-1^1 t^5 , dt:
Similarmente, t^5 também é uma função ímpar, e o intervalo é simétrico, então essa integral também vale 0.

Resposta

Portanto, a integral de linha dada ao longo da parábola y = x^2 é
0

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