Caleule as seguintes integrais de linha ao longo da ourva indicada:
,ao longo da parábola
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
ao longo da parábola
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha, que fazem parte da matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva dada e substituir na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como estamos indo de
a
, podemos usar
como nosso parâmetro. Então, nosso parâmetro
será igual a
, variando de
a
. Assim, temos:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
para substituir na integral. Calculando, temos:
Dessa forma,
e
.
Passo 4
Vamos substituir as parametrizações e as derivadas na integral original:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 5
Agora, separamos a integral em duas partes:
Calculando cada integral:
- Para
:
A função
é ímpar, e o intervalo é simétrico em relação a zero, então essa integral vale
.
- Para
:
Similarmente,
também é uma função ímpar, e o intervalo é simétrico, então essa integral também vale
.
Resposta
Portanto, a integral de linha dada ao longo da parábola
é