Encontre a solução geral, usando a Fórmula da Variação das Constantes.
y''(t) + 2y'(t) + y(t) = 2t e^(-t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando a Fórmula da Variação das Constantes. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, encontramos a equação característica:

Passo 3

Resolvemos a equação característica:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Usaremos a Fórmula da Variação das Constantes, onde assumimos que e são funções de .

Passo 5

Expressamos como:
Calculamos as derivadas de :
Mas, para simplificar, usamos as condições da variação das constantes:

Passo 6

Resolvemos o sistema:
Somando as duas equações:
Integrando:
Desconsideramos a constante pois ela será absorvida nas constantes da solução homogênea.
Substituindo na primeira equação:
Integrando:
Fazendo a substituição , temos:
Voltando para :
Desconsideramos a constante .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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