Encontre a solução geral, usando a Fórmula da Variação das Constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando a Fórmula da Variação das Constantes. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, encontramos a equação característica:
Passo 3
Resolvemos a equação característica:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Usaremos a Fórmula da Variação das Constantes, onde assumimos que
e
são funções de
.
Passo 5
Expressamos
como:
Calculamos as derivadas de
:
Mas, para simplificar, usamos as condições da variação das constantes:
Passo 6
Resolvemos o sistema:
Somando as duas equações:
Integrando:
Desconsideramos a constante
pois ela será absorvida nas constantes da solução homogênea.
Substituindo
na primeira equação:
Integrando:
Fazendo a substituição
, temos:
Voltando para
:
Desconsideramos a constante
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: