Nos exercícios de 17 a 20 , ache o produto escalar R'(t) * R''(t).
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Nos exercícios de 17 a 20 , ache o produto escalar R'(t) * R''(t).
R(t) = (2 t^2 - 1) i + (t^2 + 3) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está no campo do Cálculo Vetorial. A gente precisa encontrar o produto escalar entre a primeira derivada da função vetorial e a segunda derivada dela, ou seja, R'(t) * R''(t). Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e depois fazer o produto escalar entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial . A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma das componentes da função separadamente.
Dada:
Vamos derivar cada componente em relação a t:
  • Derivada da componente i:
  • Derivada da componente j:
Então, a primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada da função vetorial . Isso significa derivar novamente a primeira derivada que acabamos de encontrar.
Derivando :
  • Derivada da componente i:
  • Derivada da componente j:
Então, a segunda derivada é:

Passo 4

Agora que temos as duas derivadas, vamos calcular o produto escalar entre e . O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso às nossas derivadas:

Resposta

O produto escalar R'(t) * R''(t) é igual a .

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