Nos exercícios de 17 a 20 , ache o produto escalar
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Nos exercícios de 17 a 20 , ache o produto escalar
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está no campo do Cálculo Vetorial. A gente precisa encontrar o produto escalar entre a primeira derivada da função vetorial
e a segunda derivada dela, ou seja,
. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e depois fazer o produto escalar entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma das componentes da função separadamente.
Dada:
Vamos derivar cada componente em relação a
:
- Derivada da componente
:
- Derivada da componente
:
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada da função vetorial
. Isso significa derivar novamente a primeira derivada que acabamos de encontrar.
Derivando
:
- Derivada da componente
:
- Derivada da componente
:
Então, a segunda derivada é:
Passo 4
Agora que temos as duas derivadas, vamos calcular o produto escalar entre
e
. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso às nossas derivadas:
Resposta
O produto escalar
é igual a
.