Caleule as seguintes integrais de linha ao longo da ourva indicada:
integralgamma x y d s é a curva x=t e y=t, u <= t <= 1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos que calcular a integral de linha
integralgamma x y , d s
ao longo da curva definida por e , onde . Isso significa que a curva é uma linha reta que vai do ponto até . Para resolver essa integral, vamos precisar conhecer os conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva r(t) = (t, t), u <= t <= 1 . Como já temos e , nossa parametrização é simples:

Passo 3

Em seguida, determinamos a diferencial de comprimento de arco d s = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt . Para uma curva parametrizada por dxdt = 1 e dydt = 1 , temos:
d s = raiz1^2 + 1^2 , dt = raiz2 , dt
Calculando as derivadas:
Portanto,

Passo 4

Agora, substituímos integralgamma x y , d s = integralu^1 t cdot t cdot raiz2 , dt = raiz2 integralu^1 t^2 , dt , e na integral original:

Passo 5

Calculamos a integral:
raiz2 integralu^1 t^2 , dt = raiz2 [ t^33 ]u^1 = raiz2 ( 1^33 - u^33 ) = raiz2 ( 1 - u^33 )

Resposta

A integral de linha é igual a:
raiz23 (1 - u^3)

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