Uma calha de 300 cm de comprimento deve ser construída com uma folha de metal de largura 45 cm dobrando-se para cima
da folha de cada lado, fazendo-se um ângulo
com a horizontal. Determine a função que modela o volume água que a calha carrega em função de
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um exercício sobre geometria envolvendo uma calha de metal. A calha tem 300 cm de comprimento e a folha de metal usada tem 45 cm de largura. Precisamos dobrar
da folha em cada lado, formando um ângulo
com a horizontal. Nosso objetivo é determinar uma função que modele o volume de água que a calha pode carregar em função de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o volume baseado nas dimensões da calha e no ângulo das dobras.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a largura da folha de metal, que é de 45 cm. Quando dobramos
dessa largura em cada lado, estamos criando as paredes da calha.
Calculando
de 45 cm:
Então, dobramos 15 cm em cada lado.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a calha. A parte central da folha, que fica sem dobrar, terá:
Essa parte central será a base da calha.
Passo 4
As dobras de 15 cm formam as paredes da calha, inclinadas em um ângulo
com a horizontal. Para encontrar a altura das paredes, usamos a relaç��o trigonométrica do seno:
Passo 5
A largura da base da calha é 15 cm, e as duas paredes formam um triângulo com a base. A profundidade da calha, ou seja, quanto ela pode segurar de água, depende da altura das paredes. A profundidade será igual à altura das paredes:
Passo 6
Agora, para encontrar o volume de água que a calha pode carregar, multiplicamos a área da seção transversal pela comprimento da calha.
A seção transversal é um retângulo com:
- Largura: 15 cm
- Altura:
Então, a área da seção transversal é:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos a área pela comprimento da calha para obter o volume:
Resposta
A função que modela o volume de água que a calha carrega em funç��o de
é: