Uma calha de 300 cm de comprimento deve ser construída com uma folha de metal de largura 45 cm dobrando-se para cima 1/3 da folha de cada lado, fazendo-se um ângulo theta com a horizontal. Determine a função que modela o volume água que a calha carrega em função de theta.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício sobre geometria envolvendo uma calha de metal. A calha tem 300 cm de comprimento e a folha de metal usada tem 45 cm de largura. Precisamos dobrar da folha em cada lado, formando um ângulo theta com a horizontal. Nosso objetivo é determinar uma função que modele o volume de água que a calha pode carregar em função de theta. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o volume baseado nas dimensões da calha e no ângulo das dobras.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a largura da folha de metal, que é de 45 cm. Quando dobramos dessa largura em cada lado, estamos criando as paredes da calha.
Calculando de 45 cm:
Então, dobramos 15 cm em cada lado.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a calha. A parte central da folha, que fica sem dobrar, terá:
Essa parte central será a base da calha.

Passo 4

As dobras de 15 cm formam as paredes da calha, inclinadas em um ângulo theta com a horizontal. Para encontrar a altura das paredes, usamos a relaç��o trigonométrica do seno:

Passo 5

A largura da base da calha é 15 cm, e as duas paredes formam um triângulo com a base. A profundidade da calha, ou seja, quanto ela pode segurar de água, depende da altura das paredes. A profundidade será igual à altura das paredes:

Passo 6

Agora, para encontrar o volume de água que a calha pode carregar, multiplicamos a área da seção transversal pela comprimento da calha.
A seção transversal é um retângulo com:
  • Largura: 15 cm
  • Altura:
Então, a área da seção transversal é:
Á

Passo 7

Finalmente, multiplicamos a área pela comprimento da calha para obter o volume:
Á

Resposta

A função que modela o volume de água que a calha carrega em funç��o de theta é:

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