Encontre o domínio de existência das seguintes funções:
(a) f(x) = 3 - 4 x
(f) g(x) = raiz(x^2 - 3x + 2)
(b) f(x) = 1 - 3x - x^2
(g) g(x) = raiz(|x|)
(k) F(x) = raiz((x^2 - 4) / (x + 2))
© F(x) = raiz(3 x + 9)
(h) g(x) = raiz(-x)
(d) f(t) = 4 / (3 - t)
(i) h(t) = 1 / |t^2 - pi|
(1) G(t) = 2 / raiz(9 t^2 - 25)
(e) g(x) = 1 - raiz(x)
(j) h(t) = t/|t|
(m) H(x) = log10(2x^2 + 5x - 3)

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício que pede para encontrar o domínio de várias funções. Domínio, no contexto de funções matemáticas, é basicamente o conjunto de todos os valores que podem ser colocados na função sem causar irregularidades, tipo divisões por zero ou raízes de números negativos. Vamos precisar saber um pouco sobre funções lineares, quadráticas, funções com raiz quadrada, valores absolutos, frações e logaritmos. Bora lá!

Passo 2

Função (a):

Primeiro, essa é uma função linear. Funções lineares são bem diretas e não têm restrições como divisão por zero ou raízes de números negativos. Então, o domínio dela é todos os números reais.

Função (b):

Essa é uma função quadrática. Assim como a linear, não tem restrições que limitem o domínio. Pode-se colocar qualquer número real no lugar de .

Função ©:

Aqui temos uma raiz quadrada. A expressão dentro da raiz, , precisa ser maior ou igual a zero para a função estar definida. Então:


Função (d):

Essa é uma função racional, onde temos uma divisão. O denominador não pode ser zero, então:

Função (e):

Outra raiz quadrada. O que está dentro da raiz, , tem que ser maior ou igual a zero:

Função (f):

Temos uma raiz quadrada novamente. A expressão dentro da raiz, , precisa ser maior ou igual a zero.
Vamos resolver a inequação:
Fatorando:
Os pontos críticos são e . Testando os intervalos:
  • Para , o produto é positivo.
  • Entre e , o produto é negativo.
  • Para , o produto é positivo.
Então, a solução é:
ou

Função (g):

Aqui, temos uma raiz quadrada de um valor absoluto. O valor absoluto, , sempre é maior ou igual a zero, então não há restrições:
sempre verdadeiro.

Função (h):

Outra raiz quadrada, mas com dentro. Para a raiz ser válida:

Função (i):

Aqui temos uma fração onde o denominador é um valor absoluto. O denominador não pode ser zero:


e

Função (j):

Essa função envolve uma divisão onde o denominador é . é sempre positivo excepto quando . Então:

Função (k):

Aqui temos uma raiz quadrada de uma fração. Duas condições precisam ser satisfeitas:
  1. O denominador não pode ser zero:

  2. A fração dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Vamos simplificar que é , então:
Cancelando (mas lembrando que ):

Então, o domínio é

Função (l):

Temos uma fração com uma raiz quadrada no denominador. Duas condições:
  1. O denominador não pode ser zero:


  2. O que está dentro da raiz deve ser maior que zero:



    ou
Então, o domínio é ou

Função (m):

Para o logaritmo estar definido, o argumento deve ser maior que zero:
Vamos resolver a inequação quadrática. Calculando o discriminante:
Raízes:

Então:

A inequação é satisfeita para:
ou

Resposta

Os domínios das funções são:
  • (a) (todos os números reais)
  • (b) (todos os números reais)
  • ©
  • (d)
  • (e)
  • (f) ou
  • (g) (todos os números reais)
  • (h)
  • (i) e
  • (j)
  • (k)
  • (l) ou
  • (m) ou

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