O calor específico de uma substância varia com a temperatura de acordo com a fórmula: c=0,20+0,14T+0,023T², sendo T = temperatura em °C e c= cal/gK. Calcule o calor necessário para aumentar a temperatura de 2g dessa substância de 5 até 15°C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve calorimetria, um ramo da termodinâmica que estuda as trocas de calor. A pergunta quer saber quanto de calor é necessário para aumentar a temperatura de 2g de uma substância que tem seu calor específico variando com a temperatura, de 5°C até 15°C. Pra resolver isso, vamos precisar usar uma integral para calcular a quantidade total de calor envolvida nesse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula do calor específico que foi dada:
Aqui, $ c(T) $ é o calor específico em cal/gK e $ T $ é a temperatura em °C. Como o calor específico varia com a temperatura, não podemos simplesmente multiplicar uma única valor de $ c $ pela mudança de temperatura. Precisamos integrar essa função.
Passo 3
A fórmula para calcular o calor total $ Q $ quando o calor específico varia com a temperatura é:
Onde:
- $ m $ é a massa da substância (2g),
- $ T_1 $ é a temperatura inicial (5°C),
- $ T_2 $ é a temperatura final (15°C).
Substituindo $ c(T) $ na equação, temos:
Passo 4
Vamos calcular a integral passo a passo:
-
Integrar cada termo separadamente:
-
-
(porque ) -
(pois )
-
-
Somar os resultados das integrais:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, primeiro em $ T = 15°C $:
Somando esses valores:
Fazendo o mesmo para $ T = 5°C $:
Somando esses valores:
Passo 6
A diferença entre os valores nos dois limites é:
Agora, multiplicamos esse resultado pelo massa $ m = 2g $:
Resposta
O calor necessário para aumentar a temperatura de 2g dessa substância de 5°C até 15°C é de aproximadamente 81,7 calorias.