O calor específico de uma substância varia com a temperatura de acordo com a fórmula: c=0,20+0,14T+0,023T², sendo T = temperatura em °C e c= cal/gK. Calcule o calor necessário para aumentar a temperatura de 2g dessa substância de 5 até 15°C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve calorimetria, um ramo da termodinâmica que estuda as trocas de calor. A pergunta quer saber quanto de calor é necessário para aumentar a temperatura de 2g de uma substância que tem seu calor específico variando com a temperatura, de 5°C até 15°C. Pra resolver isso, vamos precisar usar uma integral para calcular a quantidade total de calor envolvida nesse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula do calor específico que foi dada:
c(T) = 0,20 + 0,14T + 0,023T² ²
Aqui, $ c(T) $ é o calor específico em cal/gK e $ T $ é a temperatura em °C. Como o calor específico varia com a temperatura, não podemos simplesmente multiplicar uma única valor de $ c $ pela mudança de temperatura. Precisamos integrar essa função.

Passo 3

A fórmula para calcular o calor total $ Q $ quando o calor específico varia com a temperatura é:
Q
Onde:
  • $ m $ é a massa da substância (2g),
  • $ T_1 $ é a temperatura inicial (5°C),
  • $ T_2 $ é a temperatura final (15°C).
Substituindo $ c(T) $ na equação, temos:
Q = m integralT1^T2 c(T) , dT ²

Passo 4

Vamos calcular a integral passo a passo:
  1. Integrar cada termo separadamente:
    • integral 0,20 , dT = 0,20T
    • integral 0,14T , dT = 0,07T²² (porque 0,142 = 0,07)
    • integral 0,023T² , dT = 0,0076667T³²³ (pois 0,0233 ≈ 0,0076667)
  2. Somar os resultados das integrais:
Q = 2 [0,20T + 0,07T² + 0,0076667T³ ]5^15 ²³

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, primeiro em $ T = 15°C $:
T = 15°C
0,20 times 15 = 3 ²
0,07 times 15² = 0,07 times 225 = 15,75 ³
Somando esses valores:
0,0076667 times 15³ = 0,0076667 times 3375 ≈ 25,83
Fazendo o mesmo para $ T = 5°C $:
3 + 15,75 + 25,83 = 44,58
T = 5°C ²
0,20 times 5 = 1 ³
Somando esses valores:
0,07 times 5² = 0,07 times 25 = 1,75

Passo 6

A diferença entre os valores nos dois limites é:
44,58 - 3,71 = 40,87
Agora, multiplicamos esse resultado pelo massa $ m = 2g $:
m = 2g

Resposta

O calor necessário para aumentar a temperatura de 2g dessa substância de 5°C até 15°C é de aproximadamente 81,7 calorias.

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