Se as calotas polares de gelo da Terra derretessem totalmente e a água voltasse para os oceanos, estes ficariam cerca de trinta metros
) mais profundos. a) Com que velocidade angular a Terra giraria nestas condições?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um problema que fala sobre o derretimento total das calotas polares da Terra. Se isso acontecesse, a água derretida faria os oceanos ficarem aproximadamente 30 metros mais fundos. O que a gente precisa descobrir é com que velocidade angular a Terra giraria nessas novas condições. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de física sobre momento de inércia e conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular (
) está relacionada com a rotação da Terra. Quando a massa na Terra se redistribui, como nesse caso onde a água dos oceanos aumenta 30 metros de profundidade, o momento de inércia da Terra muda. O momento de inércia (
) é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior é o momento de inércia.
Passo 3
Como a água está se espalhando mais nos oceanos, essa massa extra fica mais distante do centro da Terra. Isso significa que o momento de inércia da Terra vai aumentar. A fórmula do momento de inércia para uma esfera sólida (como uma simplificação da Terra) é:
onde
é a massa e
é o raio da Terra.
Passo 4
No entanto, como estamos adicionando água aos oceanos, vamos considerar que essa massa está em uma camada externa adicional. Para uma casca esférica fina, o momento de inércia é:
Mas para simplificar, vamos assumir que todo o aumento de massa está a uma distância média maior do centro, então o momento de inércia total aumenta.
Passo 5
Segundo o princípio de conservação do momento angular, se não há torque externo agindo na Terra, o momento angular total antes e depois do derretimento das calotas polares deve ser igual:
Queremos encontrar
, então rearranjamos a equação:
Passo 6
Sabemos que o momento de inércia aumenta quando a água se espalha mais. Se considerarmos que o aumento de profundidade dos oceanos é de 30 metros, podemos estimar o aumento no raio efetivo onde a massa da água está distribuída.
Vamos supor que o raio da Terra é aproximadamente
metros. Um aumento de 30 metros é pequeno comparado a esse valor, então podemos assumir que o aumento no momento de inércia é proporcional ao aumento na distância ao quadrado. Assim:
Passo 7
Calculando o fator:
Então:
Isso significa que o momento de inércia final é aproximadamente
vezes o momento inicial.
Passo 8
Agora, aplicando na equação da velocidade angular:
Como
é muito pequeno, podemos usar a aproximação de que:
para
. Então:
Passo 9
Sabemos que a velocidade angular inicial da Terra é aproximadamente:
onde
segundos (um dia). Então:
Aplicando a redução:
Resposta
Após o derretimento total das calotas polares, a velocidade angular da Terra diminuiria para aproximadamente
rad/s.