Se as calotas polares de gelo da Terra derretessem totalmente e a água voltasse para os oceanos, estes ficariam cerca de trinta metros ) mais profundos. a) Com que velocidade angular a Terra giraria nestas condições?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um problema que fala sobre o derretimento total das calotas polares da Terra. Se isso acontecesse, a água derretida faria os oceanos ficarem aproximadamente 30 metros mais fundos. O que a gente precisa descobrir é com que velocidade angular a Terra giraria nessas novas condições. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de física sobre momento de inércia e conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular ( ) está relacionada com a rotação da Terra. Quando a massa na Terra se redistribui, como nesse caso onde a água dos oceanos aumenta 30 metros de profundidade, o momento de inércia da Terra muda. O momento de inércia ( ) é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior é o momento de inércia.

Passo 3

Como a água está se espalhando mais nos oceanos, essa massa extra fica mais distante do centro da Terra. Isso significa que o momento de inércia da Terra vai aumentar. A fórmula do momento de inércia para uma esfera sólida (como uma simplificação da Terra) é:
onde é a massa e é o raio da Terra.

Passo 4

No entanto, como estamos adicionando água aos oceanos, vamos considerar que essa massa está em uma camada externa adicional. Para uma casca esférica fina, o momento de inércia é:
Mas para simplificar, vamos assumir que todo o aumento de massa está a uma distância média maior do centro, então o momento de inércia total aumenta.

Passo 5

Segundo o princípio de conservação do momento angular, se não há torque externo agindo na Terra, o momento angular total antes e depois do derretimento das calotas polares deve ser igual:
Queremos encontrar , então rearranjamos a equação:

Passo 6

Sabemos que o momento de inércia aumenta quando a água se espalha mais. Se considerarmos que o aumento de profundidade dos oceanos é de 30 metros, podemos estimar o aumento no raio efetivo onde a massa da água está distribuída.
Vamos supor que o raio da Terra é aproximadamente metros. Um aumento de 30 metros é pequeno comparado a esse valor, então podemos assumir que o aumento no momento de inércia é proporcional ao aumento na distância ao quadrado. Assim:

Passo 7

Calculando o fator:
Então:
Isso significa que o momento de inércia final é aproximadamente vezes o momento inicial.

Passo 8

Agora, aplicando na equação da velocidade angular:
Como é muito pequeno, podemos usar a aproximação de que:
para . Então:

Passo 9

Sabemos que a velocidade angular inicial da Terra é aproximadamente:
onde segundos (um dia). Então:
Aplicando a redução:

Resposta

Após o derretimento total das calotas polares, a velocidade angular da Terra diminuiria para aproximadamente rad/s.

Exercícios relacionados

Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio e densidade de carga superficial . O cilindro mais externo tem raio ( com ) e densidade de carga superficial . Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio em cada uma das seguintes condições: c) .
Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio e densidade de carga superficial . O cilindro mais externo tem raio ( com ) e densidade de carga superficial . Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio em cada uma das seguintes condições: b)
Dois blocos de massa e estão ligados por uma corda, de massa desprezível, que passa por uma roldana de raio . O bloco de massa sobe o plano inclinado de ângulo com aceleração constante a. a) Determinar e , as tensões nas duas partes da corda,
Uma partícula que se move ao longo do eixo x em movimento harmônico simples parte de sua posição no equilíbrio, a origem, em e move-se para a direita. A amplitude de seu movimento é e a frequência é .
a) Encontre uma expressão para que represente este movimento.