Se as calotas polares de gelo da Terra derretessem totalmente e a água voltasse para os oceanos, estes ficariam cerca de trinta metros (30 m ) mais profundos. a) Com que velocidade angular a Terra giraria nestas condições?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um problema que fala sobre o derretimento total das calotas polares da Terra. Se isso acontecesse, a água derretida faria os oceanos ficarem aproximadamente 30 metros mais fundos. O que a gente precisa descobrir é com que velocidade angular a Terra giraria nessas novas condições. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de física sobre momento de inércia e conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular ( ) está relacionada com a rotação da Terra. Quando a massa na Terra se redistribui, como nesse caso onde a água dos oceanos aumenta 30 metros de profundidade, o momento de inércia da Terra muda. O momento de inércia ( ) é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior é o momento de inércia.

Passo 3

Como a água está se espalhando mais nos oceanos, essa massa extra fica mais distante do centro da Terra. Isso significa que o momento de inércia da Terra vai aumentar. A fórmula do momento de inércia para uma esfera sólida (como uma simplificação da Terra) é:
I = 25 M R^2
onde é a massa e é o raio da Terra.

Passo 4

No entanto, como estamos adicionando água aos oceanos, vamos considerar que essa massa está em uma camada externa adicional. Para uma casca esférica fina, o momento de inércia é:
I = 23 M R^2
Mas para simplificar, vamos assumir que todo o aumento de massa está a uma distância média maior do centro, então o momento de inércia total aumenta.

Passo 5

Segundo o princípio de conservação do momento angular, se não há torque externo agindo na Terra, o momento angular total antes e depois do derretimento das calotas polares deve ser igual:
Iinicial omegainicial = Ifinal omegafinal
Queremos encontrar omegafinal = omegainicial IinicialIfinal , então rearranjamos a equação:

Passo 6

Sabemos que o momento de inércia aumenta quando a água se espalha mais. Se considerarmos que o aumento de profundidade dos oceanos é de 30 metros, podemos estimar o aumento no raio efetivo onde a massa da água está distribuída.
Vamos supor que o raio da Terra é aproximadamente IfinalIinicial approx (1 + 306,371 times 10^6)^2 metros. Um aumento de 30 metros é pequeno comparado a esse valor, então podemos assumir que o aumento no momento de inércia é proporcional ao aumento na distância ao quadrado. Assim:

Passo 7

Calculando o fator:
306,371 times 10^6 approx 4,71 times 10^-6
Então:
(1 + 4,71 times 10^-6)^2 approx 1 + 2 times 4,71 times 10^-6 = 1 + 9,42 times 10^-6
Isso significa que o momento de inércia final é aproximadamente vezes o momento inicial.

Passo 8

Agora, aplicando na equação da velocidade angular:
omegafinal = omegainicial 11 + 9,42 times 10^-6
Como 11 + x approx 1 - x é muito pequeno, podemos usar a aproximação de que:
omegafinal approx omegainicial (1 - 9,42 times 10^-6)
para . Então:

Passo 9

Sabemos que a velocidade angular inicial da Terra é aproximadamente:
omegainicial = 2piT
onde omegainicial approx 7,292 times 10^-5 , rad/s segundos (um dia). Então:
omegafinal approx 7,292 times 10^-5 times (1 - 9,42 times 10^-6)
Aplicando a redução:
omegafinal approx 7,292 times 10^-5 - 7,292 times 10^-5 times 9,42 times 10^-6
omegafinal approx 7,292 times 10^-5 - 6,872 times 10^-10
omegafinal approx 7,29193 times 10^-5 , rad/s

Resposta

Após o derretimento total das calotas polares, a velocidade angular da Terra diminuiria para aproximadamente rad/s.

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