Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio ra e densidade de carga superficial sigma1. O cilindro mais externo tem raio rb ( com rb>ra ) e densidade de carga superficial sigma2. Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio r em cada uma das seguintes condições: c) r>rb.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática envolvendo cilindros concêntricos. A gente vai usar a Lei de Gauss, que é super útil pra encontrar campos elétricos em situações com simetria. Aqui, temos dois cilindros condutores, um dentro do outro, com cargas distribuídas nas suas superfícies. Precisamos achar o campo elétrico fora do cilindro maior, ou seja, para qualquer ponto a uma distância r maior que rb.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( varepsilon0):
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Como nosso sistema tem simetria cilíndrica, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro coaxial com os cilindros dados, de raio r e comprimento L.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria, o campo elétrico E será radial e terá o mesmo valor em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano. As extremidades do cilindro (as tampas) não contribuem para o fluxo porque E é perpendicular à área nessas regiões.
Então, o fluxo total é:
PhiE = E cdot (2pi r L)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a carga total Qinterno dentro da superfície gaussiana. No caso, para r > rb, a superfície gaussiana engloba os dois cilindros. A carga total será a soma das cargas dos dois cilindros.
A carga em cada cilindro é a densidade superficial de carga ( sigma) multiplicada pela área da superfície:
Q1 = sigma1 cdot 2pi ra L
Q2 = sigma2 cdot 2pi rb L
Então,
Qinterno = Q1 + Q2 = 2pi L (sigma1 ra + sigma2 rb)

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot (2pi r L) = 2pi L (sigma1 ra + sigma2 rb)varepsilon0
Podemos simplificar cancelando 2pi L dos dois lados:
E cdot r = sigma1 ra + sigma2 rbvarepsilon0
Agora, isolando E:
E = sigma1 ra + sigma2 rbvarepsilon0 r

Resposta

O campo elétrico para r > rb é dado por:
E = sigma1 ra + sigma2 rbvarepsilon0 r

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