Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio
e densidade de carga superficial
. O cilindro mais externo tem raio
( com
) e densidade de carga superficial
. Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio
em cada uma das seguintes condições: c)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática envolvendo cilindros concêntricos. A gente vai usar a Lei de Gauss, que é super útil pra encontrar campos elétricos em situações com simetria. Aqui, temos dois cilindros condutores, um dentro do outro, com cargas distribuídas nas suas superfícies. Precisamos achar o campo elétrico fora do cilindro maior, ou seja, para qualquer ponto a uma distância
maior que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
):
Como nosso sistema tem simetria cilíndrica, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro coaxial com os cilindros dados, de raio
e comprimento
.
Passo 3
Vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria, o campo elétrico
será radial e terá o mesmo valor em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano. As extremidades do cilindro (as tampas) não contribuem para o fluxo porque
é perpendicular à área nessas regiões.
Então, o fluxo total é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a carga total
dentro da superfície gaussiana. No caso, para
, a superfície gaussiana engloba os dois cilindros. A carga total será a soma das cargas dos dois cilindros.
A carga em cada cilindro é a densidade superficial de carga (
) multiplicada pela área da superfície:
Então,
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Agora, isolando
:
Resposta
O campo elétrico para
é dado por: