Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio e densidade de carga superficial . O cilindro mais externo tem raio ( com ) e densidade de carga superficial . Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio em cada uma das seguintes condições: c) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática envolvendo cilindros concêntricos. A gente vai usar a Lei de Gauss, que é super útil pra encontrar campos elétricos em situações com simetria. Aqui, temos dois cilindros condutores, um dentro do outro, com cargas distribuídas nas suas superfícies. Precisamos achar o campo elétrico fora do cilindro maior, ou seja, para qualquer ponto a uma distância maior que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( ):
Como nosso sistema tem simetria cilíndrica, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro coaxial com os cilindros dados, de raio e comprimento .

Passo 3

Vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria, o campo elétrico será radial e terá o mesmo valor em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano. As extremidades do cilindro (as tampas) não contribuem para o fluxo porque é perpendicular à área nessas regiões.
Então, o fluxo total é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a carga total dentro da superfície gaussiana. No caso, para , a superfície gaussiana engloba os dois cilindros. A carga total será a soma das cargas dos dois cilindros.
A carga em cada cilindro é a densidade superficial de carga ( ) multiplicada pela área da superfície:
Então,

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:
Agora, isolando :

Resposta

O campo elétrico para é dado por:

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Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio e densidade de carga superficial . O cilindro mais externo tem raio ( com ) e densidade de carga superficial . Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio em cada uma das seguintes condições: b)
Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio e densidade de carga superficial . O cilindro mais externo tem raio ( com ) e densidade de carga superficial . Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio em cada uma das seguintes condições: a) ,
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