Uma partícula que se move ao longo do eixo x em movimento harmônico simples parte de sua posição no equilíbrio, a origem, em t=0 e move-se para a direita. A amplitude de seu movimento é 2,00 cm e a frequência é 1,5 Hz.
a) Encontre uma expressão para x(t) que represente este movimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre Movimento Harmônico Simples (MHS), que é quando uma partícula se move de maneira oscilatória ao redor de uma posição de equilíbrio. Aqui, a partícula começa na origem (posição de equilíbrio) em e se move para a direita. Sabemos que a amplitude do movimento é e a frequência é . Nosso objetivo é encontrar uma expressão matemática para a posição da partícula em função do tempo, .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula geral do Movimento Harmônico Simples. A posição de uma partícula em MHS pode ser descrita por:
x(t) = A cdot cos(omega t + phi)
ou
x(t) = A cdot sin(omega t + phi)
onde:
  • é a amplitude,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.

Passo 3

Para determinar qual dessas funções usar ( sin(0) = 0 ou ddtsin(omega t) = omega cos(omega t) e cos(0) = 1 ), vamos olhar as condições iniciais do problema. Sabemos que no instante :
  • A partícula está na posição de equilíbrio ( ),
  • E está se movendo para a direita, ou seja, a velocidade inicial é positiva.
A função seno ( ) é mais adequada aqui, porque:
e sua derivada no tempo, que representa a velocidade, é positiva:
Portanto, a função seno satisfaz as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos calcular a frequência angular omega = 2pi f . A relação entre a frequência omega = 2pi times 1,5 = 3pi , rad/s e a frequência angular é:
Dado que :

Passo 5

Com a amplitude x(t) = 2,00 , cm cdot sin(3pi t) e a frequência angular , podemos substituir na função seno que escolhemos:

Resposta

A expressão que representa o movimento da partícula é:
x(t) = 2,00 , cm cdot sin(3pi t)

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