Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio ra e densidade de carga superficial sigma1. O cilindro mais externo tem raio rb ( com rb>ra ) e densidade de carga superficial sigma2. Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio r em cada uma das seguintes condições: b) ra

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois cilindros condutores concêntricos (um dentro do outro) que são muito compridos. O cilindro interno tem raio e uma densidade de carga superficial . O cilindro externo tem raio (que é maior que ) e densidade de carga superficial . A gente precisa usar a Lei de Gauss e a simetria do problema para encontrar o campo elétrico em um ponto a uma distância onde .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que como os cilindros são muito longos e concêntricos, o problema tem simetria cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico vai depender apenas da distância radial a partir do eixo dos cilindros e vai apontar radialmente para fora ou para dentro.

Passo 3

Vamos usar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo oint E cdot dA = Qintvarepsilon0 :

Passo 4

Escolhemos uma superfície gaussiana na forma de um cilindro coaxial com os dois cilindros dados, com raio oint E cdot dA = E cdot (2pi r L) onde . Como o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana, o fluxo elétrico fica mais simples:
onde é o comprimento do cilindro, que vamos considerar cancelará depois.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a carga total dentro da superfície gaussiana. Dentro do cilindro gaussiano, temos apenas o cilindro interno com densidade de carga superficial Qint = sigma1 cdot (2pi ra L) e raio . A carga nesse cilindro interno é:

Passo 6

Substituindo o fluxo e a carga na Lei de Gauss:
E cdot (2pi r L) = sigma1 cdot (2pi ra L)varepsilon0

Passo 7

Podemos simplificar cancelando E cdot r = sigma1 ravarepsilon0 dos dois lados:

Passo 8

Isolando E = sigma1 ravarepsilon0 r para encontrar o campo elétrico:

Resposta

O campo elétrico para E = sigma1 ravarepsilon0 r é:

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