Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio
e densidade de carga superficial
. O cilindro mais externo tem raio
( com
) e densidade de carga superficial
. Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio
em cada uma das seguintes condições: b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois cilindros condutores concêntricos (um dentro do outro) que são muito compridos. O cilindro interno tem raio
e uma densidade de carga superficial
. O cilindro externo tem raio
(que é maior que
) e densidade de carga superficial
. A gente precisa usar a Lei de Gauss e a simetria do problema para encontrar o campo elétrico em um ponto a uma distância
onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que como os cilindros são muito longos e concêntricos, o problema tem simetria cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico vai depender apenas da distância radial
a partir do eixo dos cilindros e vai apontar radialmente para fora ou para dentro.
Passo 3
Vamos usar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
Passo 4
Escolhemos uma superfície gaussiana na forma de um cilindro coaxial com os dois cilindros dados, com raio
onde
. Como o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana, o fluxo elétrico fica mais simples:
onde
é o comprimento do cilindro, que vamos considerar cancelará depois.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a carga total dentro da superfície gaussiana. Dentro do cilindro gaussiano, temos apenas o cilindro interno com densidade de carga superficial
e raio
. A carga nesse cilindro interno é:
Passo 6
Substituindo o fluxo e a carga na Lei de Gauss:
Passo 7
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 8
Isolando
para encontrar o campo elétrico:
Resposta
O campo elétrico para
é: