Caloule a integral de linha do campo vetortai ao longo da curva , descrita pelo arco de circulo , percorrido no sentido anti-horário de a . (pese 2.5 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Essa curva é um arco de círculo definido por , que vai de a no sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, parametrizar a curva e depois calcular a integral usando essas parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela acumula o efeito do campo vetorial ao longo de uma curva . A fórmula geral é:
Aqui, é o campo vetorial e é o vetor diferencial ao longo da curva.

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar a curva . Como é um arco de círculo com raio 2 ( ), podemos usar coordenadas polares para facilitar. A parametrização geral de um círculo com raio é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Precisamos determinar os limites para . A curva começa em e vai até no sentido anti-horário.
  • No ponto , radianos.
  • No ponto , radianos, mas como vamos no sentido anti-horário, equivaleria a .
Portanto, varia de a .

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Derivando e em relação a :
Então,

Passo 6

Vamos substituir e na expressão do campo vetorial :

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Podemos dividir a integral em duas partes:

Passo 9

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Usamos a substituição , então :
Segunda Integral:
Usamos a identidade :

Passo 10

Agora, somamos as duas integrais avaliadas de a :
Vamos calcular em :
E em :
Subtraindo:

Resposta

A integral de linha do campo vetorial ao longo da curva é .

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