Exemplo 2:

Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2*x^2 + 3 no ponto cuja abscissa é 2 . Esboce graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde a abscissa (o valor de ) é 2. Isso envolve conhecimentos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e usar a equação da reta. Vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função e aplicar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto na curva quando . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituímos na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é 8.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma explícita:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde é:

Esboço Gráfico

Para esboçar o gráfico, desenhe a parábola de e a reta tangente passando pelo ponto . A reta tocará a parábola exatamente nesse ponto sem cruzá-la.

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