Exemplo 2:

Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto cuja abscissa é 2 . Esboce graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde a abscissa (o valor de ) é 2. Isso envolve conhecimentos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e usar a equação da reta. Vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função e aplicar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto na curva quando . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituímos na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é 8.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma explícita:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde é:

Esboço Gráfico

Para esboçar o gráfico, desenhe a parábola de e a reta tangente passando pelo ponto . A reta tocará a parábola exatamente nesse ponto sem cruzá-la.

Exercícios relacionados

Sabendo que è o triângulo de verrices e , calcule a integral de linha por dois metodos distintos: a) Diretamente (peso 1,0); b) Usando o teorema de Green (peso
Caloule a integral de linha do campo vetortai ao longo da curva , descrita pelo arco de circulo , percorrido no sentido anti-horário de a . (pese 2.5 )

Exercícios

  1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.
    (a) ; .
    (b) .
    © ; .
    (d) .
    (e) .
    (f) .
    (g) .