Sabendo que o volume E é dellimitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelo plano xy, calcule a integral tripla (peso 2.5).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla sobre um volume
que está delimitado por três superfícies: o paraboloide
, o cilindro
e o plano
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas polares. Vamos precisar entender como configurar a integral tripla e escolher a melhor coordenada para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o volume
. O paraboloide
abre para cima, e o cilindro
é um cilindro circular reto com raio
. O plano
é simplesmente o chão, onde
. Então, o volume
está entre o chão e o paraboloide, dentro do cilindro.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, e a área diferencial
em coordenadas polares fica
. Isso simplifica bastante quando temos simetria circular, como no caso do cilindro.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para cada variável:
- Ângulo
: Como o cilindro é completo em torno do eixo , varia de a . - Raio
: O raio varia de até o raio do cilindro, que é . - Altura
: Para cada ponto , varia do plano (onde ) até o paraboloide .
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Aqui,
é constante e o
vem do elemento de volume em coordenadas polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna, primeiro em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos essa expressão na integral e resolvemos a próxima integração em relação a
:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
Então, a integral tripla é igual a:
Exercícios relacionados
Dados
e
, calcule: o ângulo entre
e
Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois.
e
Caloule a integral de linha do campo vetortai
ao longo da curva
, descrita pelo arco de circulo
, percorrido no sentido anti-horário de
a
. (pese 2.5 )
Sabendo que
è o triângulo de verrices
e
, calcule a integral de linha por dois metodos distintos: a) Diretamente (peso 1,0); b) Usando o teorema de Green (peso