Sabendo que o volume E é dellimitado pelo paraboloide z=1+x^2+y^2, pelo cilindro x^2+y^2=5 e pelo plano xy, calcule a integral tripla (peso 2.5).
approx integral triplavarepsilon e^2 d v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla sobre um volume que está delimitado por três superfícies: o paraboloide , o cilindro e o plano . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas polares. Vamos precisar entender como configurar a integral tripla e escolher a melhor coordenada para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o volume . O paraboloide abre para cima, e o cilindro é um cilindro circular reto com raio . O plano é simplesmente o chão, onde . Então, o volume está entre o chão e o paraboloide, dentro do cilindro.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , e a área diferencial em coordenadas polares fica . Isso simplifica bastante quando temos simetria circular, como no caso do cilindro.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para cada variável:
  • Ângulo : Como o cilindro é completo em torno do eixo , varia de a .
  • Raio : O raio varia de até o raio do cilindro, que é .
  • Altura : Para cada ponto , varia do plano (onde ) até o paraboloide .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume integral triplaE e^2 , dV = integral0^2pi integral0^raiz5 integral0^1 + r^2 e^2 cdot r , dz , dr , dtheta :
Aqui, é constante e o vem do elemento de volume em coordenadas polares.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna, primeiro em relação a integral0^1 + r^2 e^2 cdot r , dz = e^2 cdot r cdot [ z ]0^1 + r^2 = e^2 cdot r cdot (1 + r^2) :

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral e resolvemos a próxima integração em relação a integral0^raiz5 e^2 cdot r cdot (1 + r^2) , dr = e^2 integral0^raiz5 (r + r^3) , dr :
e^2 [ r^22 + r^44 ]0^raiz5 = e^2 ( 52 + 254 ) = e^2 ( 104 + 254 ) = e^2 cdot 354
Integrando termo a termo:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a integral0^2pi e^2 cdot 354 , dtheta = e^2 cdot 354 cdot [ theta ]0^2pi = e^2 cdot 354 cdot 2pi = e^2 cdot 35pi2 :

Resposta

Então, a integral tripla é igual a:
integral triplaE e^2 , dV = 352 pi e^2

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