Dados
e
, calcule: o ângulo entre
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores,
e
, e o que precisamos fazer é encontrar o ângulo entre eles. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula do produto escalar que relaciona vetores e ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar. A fórmula é:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as magnitudes (comprimentos) dos vetores. -
é o ângulo entre os vetores.
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos reorganizar a fórmula para isolá-lo:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. Para isso, multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores
e
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Calculando para
:
E para
:
Passo 5
Agora que temos o produto escalar e as magnitudes dos vetores, podemos substituir esses valores na fórmula do ângulo:
Primeiro, vamos calcular o denominador:
Então, a fração fica:
Passo 6
Agora, aplicamos a função arco cosseno para encontrar o ângulo
:
Usando uma calculadora, encontramos:
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é aproximadamente
.