Dados u(1, 4) e v(3,2), calcule: o ângulo entre u e v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u(1, 4) e v(3,2), e o que precisamos fazer é encontrar o ângulo entre eles. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula do produto escalar que relaciona vetores e ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar. A fórmula é:
Onde:
  • u . v é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre os vetores.
Nosso objetivo é encontrar theta, então vamos reorganizar a fórmula para isolá-lo:

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u . v. Para isso, multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores u e v. A magnitude de um vetor é dada por:
Calculando para u(1, 4):
E para v(3,2):

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes dos vetores, podemos substituir esses valores na fórmula do ângulo:
Primeiro, vamos calcular o denominador:
Então, a fração fica:

Passo 6

Agora, aplicamos a função arco cosseno para encontrar o ângulo theta:
Usando uma calculadora, encontramos:

Resposta

O ângulo entre os vetores u(1, 4) e v(3,2) é aproximadamente .

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