Sabendo que è o triângulo de verrices e , calcule a integral de linha por dois metodos distintos: a) Diretamente (peso 1,0); b) Usando o teorema de Green (peso

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre o triângulo formado pelos pontos , e . A integral que vamos resolver é:
Vamos resolver isso de duas maneiras diferentes:
a) Diretamente, calculando a integral ao longo de cada segmento do triângulo.
b) Usando o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a área delimitada por .
Para isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo de integrais de linha, parametrização de curvas e o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma parametrização dos lados do triângulo . O triângulo tem três lados:
  1. De a
  2. De a
  3. De de volta a
Vamos calcular a integral em cada um desses lados separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Primeiro Lado: de a
Aqui, e varia de 0 a 1. Podemos parametrizar essa parte como:
Derivando, temos:
Substituindo na integral:
Então, a integral nesse lado é 0.

Passo 4

Segundo Lado: de a
Neste lado, e varia de 0 a 2. Parametrizamos como:
Derivando:
Substituindo na integral:
Calculando a integral:
Então, a integral nesse lado é 4.

Passo 5

Terceiro Lado: de a
Este lado é uma linha reta que conecta a . Podemos encontrar a equação dessa linha:
A inclinação é:
Então, a equação é . Vamos parametrizar com variando de 1 a 0:
Note que diminui de 1 a 0. Derivando:
Substituindo na integral:
Vamos calcular cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando as duas partes:
Então, a integral nesse lado é .

Passo 6

Agora, vamos somar as integrais dos três lados para encontrar o valor total da integral de linha:

Passo 7

Agora, vamos resolver a mesma integral usando o Teorema de Green. Esse teorema nos permite converter uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada por .
O Teorema de Green diz:
No nosso caso, e .
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então:
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região , que é o triângulo com vértices , e .
Os limites de integração para vão de 0 a 1, e para , para cada , vão de 0 até (pois a linha que conecta a é ).
Então, a integral dupla fica:
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Concluímos que, tanto calculando a integral diretamente quanto utilizando o Teorema de Green, o resultado é o mesmo: .

Resposta

A integral de linha sobre o triângulo é igual a , tanto pelo método direto quanto pelo Teorema de Green.

Exercícios relacionados

Caloule a integral de linha do campo vetortai ao longo da curva , descrita pelo arco de circulo , percorrido no sentido anti-horário de a . (pese 2.5 )
Sabendo que o volume E é dellimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano xy, calcule a integral tripla (peso 2.5).

Exemplo 2:

Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto cuja abscissa é 2 . Esboce graficamente.

Exercícios

  1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.
    (a) ; .
    (b) .
    © ; .
    (d) .
    (e) .
    (f) .
    (g) .