Sabendo que
è o triângulo de verrices
e
, calcule a integral de linha por dois metodos distintos: a) Diretamente (peso 1,0); b) Usando o teorema de Green (peso
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre o triângulo
formado pelos pontos
,
e
. A integral que vamos resolver é:
Vamos resolver isso de duas maneiras diferentes:
a) Diretamente, calculando a integral ao longo de cada segmento do triângulo.
b) Usando o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a área delimitada por .
a) Diretamente, calculando a integral ao longo de cada segmento do triângulo.
b) Usando o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a área delimitada por
Para isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo de integrais de linha, parametrização de curvas e o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma parametrização dos lados do triângulo
. O triângulo tem três lados:
- De
a - De
a - De
de volta a
Vamos calcular a integral em cada um desses lados separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Primeiro Lado: de
a
Aqui,
e
varia de 0 a 1. Podemos parametrizar essa parte como:
Derivando, temos:
Substituindo na integral:
Então, a integral nesse lado é 0.
Passo 4
Segundo Lado: de
a
Neste lado,
e
varia de 0 a 2. Parametrizamos como:
Derivando:
Substituindo na integral:
Calculando a integral:
Então, a integral nesse lado é 4.
Passo 5
Terceiro Lado: de
a
Este lado é uma linha reta que conecta
a
. Podemos encontrar a equação dessa linha:
A inclinação
é:
Então, a equação é
. Vamos parametrizar com
variando de 1 a 0:
Note que
diminui de 1 a 0. Derivando:
Substituindo na integral:
Vamos calcular cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando as duas partes:
Então, a integral nesse lado é
.
Passo 6
Agora, vamos somar as integrais dos três lados para encontrar o valor total da integral de linha:
Passo 7
Agora, vamos resolver a mesma integral usando o Teorema de Green. Esse teorema nos permite converter uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
.
O Teorema de Green diz:
No nosso caso,
e
.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então:
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região
, que é o triângulo com vértices
,
e
.
Os limites de integração para
vão de 0 a 1, e para
, para cada
, vão de 0 até
(pois a linha que conecta
a
é
).
Então, a integral dupla fica:
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Concluímos que, tanto calculando a integral diretamente quanto utilizando o Teorema de Green, o resultado é o mesmo:
.
Resposta
A integral de linha sobre o triângulo
é igual a
, tanto pelo método direto quanto pelo Teorema de Green.
Exercícios relacionados
Caloule a integral de linha do campo vetortai
ao longo da curva
, descrita pelo arco de circulo
, percorrido no sentido anti-horário de
a
. (pese 2.5 )
Sabendo que o volume E é dellimitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelo plano xy, calcule a integral tripla (peso 2.5).
Exemplo 2:
Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto cuja abscissa é 2 . Esboce graficamente.
Exercícios
- Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.
(a); .
(b).
©; .
(d).
(e).
(f).
(g).