Sabendo que C è o triângulo de verrices (0,0),(1,0) e (1,2), calcule a integral de linha por dois metodos distintos: a) Diretamente (peso 1,0); b) Usando o teorema de Green (peso 1,5)
ointC(x y) d x+(x^2 y^3) d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre o triângulo ointC (x y) , dx + (x^2 y^3) , dy formado pelos pontos , e . A integral que vamos resolver é:
Vamos resolver isso de duas maneiras diferentes:
a) Diretamente, calculando a integral ao longo de cada segmento do triângulo.
b) Usando o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a área delimitada por .
Para isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo de integrais de linha, parametrização de curvas e o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma parametrização dos lados do triângulo . O triângulo tem três lados:
  1. De a
  2. De a
  3. De de volta a
Vamos calcular a integral em cada um desses lados separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Primeiro Lado: de x = t, y = 0, com t in [0,1] a dx = dt, dy = 0
Aqui, integral0^1 (t cdot 0) , dt + (t^2 cdot 0^3) cdot 0 = 0 e varia de 0 a 1. Podemos parametrizar essa parte como:
Derivando, temos:
Substituindo na integral:
Então, a integral nesse lado é 0.

Passo 4

Segundo Lado: de x = 1, y = t, com t in [0,2] a dx = 0, dy = dt
Neste lado, integral0^2 (1 cdot t) cdot 0 + (1^2 cdot t^3) cdot dt = integral0^2 t^3 , dt e [ t^44 ]0^2 = 164 - 0 = 4 varia de 0 a 2. Parametrizamos como:
Derivando:
Substituindo na integral:
Calculando a integral:
Então, a integral nesse lado é 4.

Passo 5

Terceiro Lado: de m = 0 - 20 - 1 = 2 a x = t, y = 2t, com t in [1,0]
Este lado é uma linha reta que conecta dx = dt, dy = 2 , dt a integral1^0 (t cdot 2t) , dt + (t^2 cdot (2t)^3) cdot 2 , dt = integral1^0 2t^2 , dt + integral1^0 16 t^5 , dt . Podemos encontrar a equação dessa linha:
A inclinação integral1^0 2t^2 , dt = -integral0^1 2t^2 , dt = -[ 2t^33 ]0^1 = -23 é:
integral1^0 16 t^5 , dt = -integral0^1 16 t^5 , dt = -[ 16 t^66 ]0^1 = -166 = -83
Então, a equação é -23 - 83 = -103 . Vamos parametrizar com variando de 1 a 0:
Note que diminui de 1 a 0. Derivando:
Substituindo na integral:
Vamos calcular cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando as duas partes:
Então, a integral nesse lado é .

Passo 6

Agora, vamos somar as integrais dos três lados para encontrar o valor total da integral de linha:
0 + 4 + (-103) = 4 - 103 = 123 - 103 = 23

Passo 7

Agora, vamos resolver a mesma integral usando o Teorema de Green. Esse teorema nos permite converter uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA delimitada por partial Qpartial x = 2x y^3 .
O Teorema de Green diz:
partial Ppartial y = x
No nosso caso, partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x y^3 - x = x (2 y^3 - 1) e integral duplaD x (2 y^3 - 1) , dy , dx = integral0^1 integral0^2x x (2 y^3 - 1) , dy , dx .
Vamos calcular as derivadas parciais:
integral0^2x x (2 y^3 - 1) , dy = x [ 2 y^44 - y ]0^2x = x ( 2 (2x)^44 - 2x ) = x ( 32 x^44 - 2x ) = x (8 x^4 - 2x) = 8 x^5 - 2 x^2
integral0^1 (8 x^5 - 2 x^2) , dx = [ 8 x^66 - 2 x^33 ]0^1 = ( 86 - 23 ) - 0 = 43 - 23 = 23
Então:
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região , que é o triângulo com vértices , e .
Os limites de integração para vão de 0 a 1, e para , para cada , vão de 0 até (pois a linha que conecta a é ).
Então, a integral dupla fica:
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Concluímos que, tanto calculando a integral diretamente quanto utilizando o Teorema de Green, o resultado é o mesmo: .

Resposta

A integral de linha sobre o triângulo é igual a , tanto pelo método direto quanto pelo Teorema de Green.

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