Considere uma extensa parede plana de espessura , condutividade térmica e área da superfície A . O lado esquerdo da parede é mantido a uma temperatura constante , enquanto o lado direito perde calor por convecção para o ar ambiente a com coeficiente de transferência de calor . Considerando uma condutividade térmica constante e ausência de geração de calor na parede, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma parede plana com espessura , condutividade térmica , e área da superfície . O lado esquerdo da parede está a uma temperatura constante , e o lado direito está perdendo calor por convecção para o ar ambiente, que está a , com um coeficiente de transferência de calor .
Queremos expressar a equação diferencial que descreve a condução de calor unidimensional em estado permanente através da parede, além das condições de contorno que se aplicam a esse problema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre condução de calor e como formular a equação que representa isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz que a taxa de fluxo de calor através de um material é proporcional ao gradiente de temperatura. Em uma dimensão, essa lei fica assim:
Aqui, é a derivada da temperatura em relação à posição , e o sinal negativo indica que o calor flui do ponto de maior temperatura para o de menor temperatura.

Passo 3

Como o problema é em estado permanente (não muda com o tempo) e a condução é unidimensional, a quantidade de calor que entra na parede deve ser igual à quantidade que sai. Isso significa que o fluxo de calor é constante ao longo da espessura da parede. Então, podemos escrever:
Essa é a equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura na parede em estado permanente.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições de contorno. As condições de contorno são as informações que conhecemos nas bordas da parede e que nos ajudam a resolver a equação diferencial.
A primeira condição é que, no lado esquerdo da parede ( ), a temperatura é constante:
A segunda condição envolve o lado direito da parede ( ). Aqui, o calor está sendo perdido por convecção para o ar ambiente. A transferência de calor por convecção é dada por:
Substituindo o fluxo de calor pela expressão da Lei de Fourier, temos:
Isso nos dá a segunda condição de contorno.

Resposta

A equação diferencial para condução de calor unidimensional permanente na parede é:
Com as condições de contorno:

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