Considere uma extensa parede plana de espessura L=0,4 m, condutividade térmica k=2,3 W / mK e área da superfície A =30 m^2. O lado esquerdo da parede é mantido a uma temperatura constante T1=90^circ C, enquanto o lado direito perde calor por convecção para o ar ambiente a Tinfty=25^circ C com coeficiente de transferência de calor h=24 W / m^2 K. Considerando uma condutividade térmica constante e ausência de geração de calor na parede, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma parede plana com espessura , condutividade térmica , e área da superfície . O lado esquerdo da parede está a uma temperatura constante , e o lado direito está perdendo calor por convecção para o ar ambiente, que está a , com um coeficiente de transferência de calor .
Queremos expressar a equação diferencial que descreve a condução de calor unidimensional em estado permanente através da parede, além das condições de contorno que se aplicam a esse problema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre condução de calor e como formular a equação que representa isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz que a taxa de fluxo de calor q = -k dTdx através de um material é proporcional ao gradiente de temperatura. Em uma dimensão, essa lei fica assim:
Aqui, é a derivada da temperatura em relação à posição , e o sinal negativo indica que o calor flui do ponto de maior temperatura para o de menor temperatura.

Passo 3

Como o problema é em estado permanente (não muda com o tempo) e a condução é unidimensional, a quantidade de calor que entra na parede deve ser igual à quantidade que sai. Isso significa que o fluxo de calor d^2 Tdx^2 = 0 é constante ao longo da espessura da parede. Então, podemos escrever:
Essa é a equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura na parede em estado permanente.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições de contorno. As condições de contorno são as informações que conhecemos nas bordas da parede e que nos ajudam a resolver a equação diferencial.
A primeira condição é que, no lado esquerdo da parede ( T(0) = T1 = 90^circ C ), a temperatura é constante:
q = h (T(L) - Tinfty)
A segunda condição envolve o lado direito da parede ( -h dTdxg|x=L = h (T(L) - Tinfty) ). Aqui, o calor está sendo perdido por convecção para o ar ambiente. A transferência de calor por convecção é dada por:
Substituindo o fluxo de calor pela expressão da Lei de Fourier, temos:
Isso nos dá a segunda condição de contorno.

Resposta

A equação diferencial para condução de calor unidimensional permanente na parede é:
d^2 Tdx^2 = 0
Com as condições de contorno:
T(0) = 90^circ C
-h dTdxg|x=L = h (T(L) - 25^circ C)

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