Considere uma longa parede plana de 50 cm de espessura e condutividade térmica de
. A superfície esquerda
), é submetida a um fluxo de calor uniforme
enquanto a temperatura da superfície
é constante. A superfície direita é submetida a transferência de calor por convecção e radiação, e a temperatura da superfície é
enquanto a do ambiente é
. (a) Mostre que a variação da temperatura na parede pode ser expressa por:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre condução de calor através de uma parede plana. A parede tem 50 cm de espessura e uma condutividade térmica de
. Na parte esquerda (x=0), a parede recebe um fluxo de calor constante
e mantém a temperatura
constante. Na parte direita, a parede troca calor por convecção e radiação com o ambiente, onde a temperatura da parede é
e a do ambiente é
. Nosso objetivo é mostrar que a variação da temperatura ao longo da parede pode ser expressa por:
Vamos precisar usar a lei de Fourier da condução de calor e entender como o calor se distribui na parede.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier, que descreve a condução de calor em materiais:
Onde:
-
é o fluxo de calor (W/m²), -
é a condutividade térmica do material (W/mK), -
é o gradiente de temperatura.
No nosso caso, o fluxo de calor
é constante ao longo da parede, então podemos reescrever a equação como:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura
. A integração de
em relação a
nos dá:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Vamos aplicar a condição de contorno na superfície direita da parede (x = L). Sabemos que nessa posição, a temperatura é
, então:
Resolvendo para
:
Passo 5
Substituindo o valor de
na equação da temperatura geral:
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, a variação da temperatura na parede é dada por: