Considere uma longa parede plana de 50 cm de espessura e condutividade térmica de 25 W / mK. A superfície esquerda (x=0 ), é submetida a um fluxo de calor uniforme dotq0 enquanto a temperatura da superfície T0 é constante. A superfície direita é submetida a transferência de calor por convecção e radiação, e a temperatura da superfície é TL=225^circ C enquanto a do ambiente é 25^circ C. (a) Mostre que a variação da temperatura na parede pode ser expressa por: T(x)=(dotq0k)(L-x)+TL.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre condução de calor através de uma parede plana. A parede tem 50 cm de espessura e uma condutividade térmica de T(x) = (dotq0k)(L - x) + TL . Na parte esquerda (x=0), a parede recebe um fluxo de calor constante e mantém a temperatura constante. Na parte direita, a parede troca calor por convecção e radiação com o ambiente, onde a temperatura da parede é e a do ambiente é . Nosso objetivo é mostrar que a variação da temperatura ao longo da parede pode ser expressa por:
Vamos precisar usar a lei de Fourier da condução de calor e entender como o calor se distribui na parede.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier, que descreve a condução de calor em materiais:
dotq = -k dTdx
Onde:
  • dTdx = -dotq0k é o fluxo de calor (W/m²),
  • é a condutividade térmica do material (W/mK),
  • é o gradiente de temperatura.
No nosso caso, o fluxo de calor é constante ao longo da parede, então podemos reescrever a equação como:

Passo 3

Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura T(x) = -dotq0k x + C . A integração de em relação a nos dá:
Onde é a constante de integração que precisamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Vamos aplicar a condição de contorno na superfície direita da parede (x = L). Sabemos que nessa posição, a temperatura é T(L) = -dotq0k L + C = TL , então:
C = TL + dotq0k L
Resolvendo para :

Passo 5

Substituindo o valor de T(x) = -dotq0k x + TL + dotq0k L na equação da temperatura geral:
T(x) = dotq0k (L - x) + TL
Simplificando a expressão:

Resposta

Portanto, a variação da temperatura na parede é dada por:
T(x) = (dotq0k)(L - x) + TL

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